Wie kann ich mir eine reelle Potenzreihe vorstellen?
Wie kann ich mir bzgl. einer reellen Potenzreihe den Konvergenzradius vorstellen?
Dass der Konvergenzradius eine "Scheibe" darstellt mit Radius R und alle x innerhalb dieses Radius konvergieren und außerhalb divergieren (zusätzliche Randbetrachtung zudem) verstehe ich schonmal.
Der Entwicklungspunkt bzw. der Kreismittelpunkt wäre hier 1/2 richtig? (Form: x-x0)^n
Liegt dann quasi der Entwicklungspunkt einer reellen Potenzreihe auf der x-Achse während bei der imaginären Potenzreihe der Entwicklungspunkt im Imaginären liegen kann?
Hier in dem Beispiel bekomme ich einen Radius von 1/2. Ist es also richtig, mir vorzustellen, dass der Kreismittelpunkt auf (1/2, 0) liegt und ich mir für die Randbetrachtung die x-Werte x=0 & x=1 anschauen müsste?
2 Antworten
Die Reihe hat um x0 = 1/2 den Konvergenzradius r = 1/2.
Hat man r berechnet, gibt es folgende Bedingungen:
|x - x0| < r : Reihe konvergiert
|x - x0| > r : Reihe divergiert
|x - x0| = r : keine Aussagen zur Konvergenz möglich, jeder passende x-Wert muss einzeln geprüft werden.
Im konkreten Fall x=0 und x=1:
Für x = 0 konvergiert die Reihe (weil die Summanden alternieren)
Für x = 1 divergiert die Reihe (sum 1/sqrt(n) )
Im reellen Fall reduziert sich der Konvergenzradius (Kreis) zu einem Intervall.
Der Entwicklungspunkt bzw. der Kreismittelpunkt wäre hier 1/2 richtig?
Richtig.
Liegt dann quasi der Entwicklungspunkt einer reellen Potenzreihe auf der x-Achse
Ja! Im Reellen gibt es ja nichts anderes als die "x-Achse". Alles spielt sich im Eindimensionalen ab. Also liegt auch der Entwicklungspunkt dort.
Der Konvergenzkreis ist in diesem Fall ein Intervall (ein "eindimensionaler Kreis"), dessen Mittelpunkt gleich dem Entwicklungspunkt ist.
während bei der imaginären Potenzreihe der Entwicklungspunkt im Imaginären liegen kann?
Eine komplexe Potenzreihe bildet lokal eine komplexe Funktion nach. Deren Definitionsbereich kann man sich zweidimensional, als Ebene vorstellen. Der Entwicklungspunkt kann dabei nicht nur auf den Achsen liegen, sondern irgendeine komplexe Zahl in dieser Ebene sein. Der Konvergenzkreis ist hier auch wirklich ein Kreis.
Hier in dem Beispiel bekomme ich einen Radius von 1/2. Ist es also richtig, mir vorzustellen, dass der Kreismittelpunkt auf (1/2, 0) liegt und ich mir für die Randbetrachtung die x-Werte x=0 & x=1 anschauen müsste?
Richtig. Allerdings ergibt die Darstellung (1/2, 0) keinen Sinn, da wir ja hier einen reellen Definitionsbereich haben. Einfach zu sagen
"Der Mittelpunkt des Konvergenzkreises liegt bei 1/2"
wäre hier treffender, obwohl es sich nicht um einen "Kreis" im intuitiven Sinne handelt.