Warum nur eine Lösung nach Sinussatz?
Meine etwas längere Frage zur Trigonometrie:
Bei einer Aufgabe in meinem Mathebuch (Klasse 9) sind für ein beliebiges Dreieck ABC die Seiten b=2,380km, a=3,450km und c=2,180km und der Winkel γ=38,7° gegeben. Demnach sollen nun α und β berechnet werden. Ich hatte angefangen α mit den Sinussatz zu berechnen, wodurch 81,5° herauskamen aber auch α2=98.5°, da es beim Sinus immer 2 Lösungen geben kann (wegen Quadrantenbeziehung: sinα=sin(180°-α)). Nach der Innenwinkelsumme wären somit β1=59,4° und β2=42,8°. D.h. es müssten theoretisch 2 verschiedene Dreiecke existieren, die mit diesen unterschiedlichen Winkelpaaren und den Gegebenen passen.
Ich habe das Ganze nun versucht zu konstruieren, dann ist mir aufgefallen, dass nur die 2. Lösungen (also α2 und β2) zu einem existenten Dreick führen.
Das finde ich seltsam und frage deshalb, wie das sein kann, dass die ersten berechneten Winkel zwar nach Innenwinkelsumme und Seiten-Winkel-Beziehung theoretisch Lösungen sein müssten und es aber nicht sind
Spaßeshalber habe ich noch versucht, mit den Kosinussatz zu rechnen, weil da ja nur eine Lösung möglich ist: Als Ergebnis kommen die Winkel α=98,5° und β=81,5° heraus, die ich ja oben schon als 2. Lösungen berechnet habe und die auch existieren.
Meine Lehrerin weiß auch nicht so richtig, warum das so ist, weswegen ich hier frage!
Ich hoffe, jemand hat Lust und Zeit, mir zu helfen :D
5 Antworten
Wenn man sich den Verlauf der Sinuskurve und der Cosinuskurve zwischen 0° und 180° anschaut (Winkel außerhalb dieses Intervalls kommen als Innenwinkel eines Dreiecks nicht infrage), so stellt man fest, dass es zwei Winkel zu einem Sinuswert gibt, aber nur einen Cosinuswert. Es gilt: sin(α) = sin(180° - α)
Der Sinussatz ist zwar stimmig, aber der arcsin liefert 2 mögliche Winkel zwischen 0° und 180°. Der Taschenrechner zeigt gewöhnlich den kleineren Winkel an. Ist der gesuchte Winkel ein stumpfer Winkel, so ist der am Taschenrechner angezeigte Winkel nicht der richtige Winkel.
Entweder man prüft anhand einer Skizze, ob der gesuchte Winkel ein stumpfer Winkel ist oder man wendet von vornherein den Kosinussatz an. Dieser liefert ein eindeutiges Ergebnis, da es nur einen passenden Winkel zwischen 0° und 180° zu einem Cosinuswert gibt.
so lautet der cosinussatz :
c² = a² + b² - 2ab*cos(38.7)
c² = 3.45² + 2.38² - 2*3.45*2.38*cos(38.7°)
c = 4.75 ...........also nicht dein gegebenes c ........
Gamma passt gar nicht zum Dreieck mit den angebenen Seiten a b und c .
wähle ich diesen Ansatz
2.18² = a² + 2.38² - 2*a*2.38*cos(38.7°)
wird a = 3.45
wähle ich diesen Ansatz
2.18² = 3.45² + b² - 2*3.45*b*cos(38.7°)
wird b = 3.00 oder ! 2.38
das ganze Kuddelmuddel entsteht also nur , weil Gamma das eigentlich eindeutige Dreieck variiert.
Muss man aber nicht noch die Wurzel von c ziehen? Diese wäre rund 2,18?
Den Kosinussatz wendet man an, wenn 3 Seiten oder 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. Im ersten Fall kann man jeden Winkel berechnen und im zweiten Fall berechnet man die dem Winkel gegenüberliegende Seite. Beide Fälle sind eindeutig.
Den Kosinussatz c² = a² + b² - 2ab * cos(γ) nach a oder b umzustellen, sodass eine quadratische Gleichung entsteht ist eher ungewöhnlich. Wenn man unterstellt, dass nur c = 2,18 , a = 3,45 und γ = 38,7° gegeben sind, habe ich einen nicht eindeutigen Fall, da 2 Seiten und der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind und zwei Lösungen für b entstehen.
Im o.g. Beispiel sind aber 3 Seiten gegeben. Der Fall ist eindeutig und da γ zu den Seitenlängen passt auch nicht widersprüchlich.
Da drei Seiten gegeben sind kann es nur eine Lösung geben. Sehe das Problem nicht.
stimmt , blöd nur , dass das gegebene alles durcheinanderbringt ......Nimmt man das in die Rechnung , varieren die Seitenlängen und stimmen nicht mit den angegebenen überein .
Also das Problem ist, dass dir der Kongruenzsatz SSW nur ein eindeutiges Dreieck liefert, wenn der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt. Hier ist aber c sowohl kürzer als a als auch als b. In beiden Fällen liegt gamma also der kürzeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber. Also gibt es jeweils für a zwei Dreiecke (mit a, c, gamma die Dreiecke ABC und A'BC) und zwei Dreiecke für b (mit b, c, gamma die Dreiecke ABC und AB'C), wovon das Dreieck ABC bei beiden vorkommt, wo dann im ersten Fall auch die Seite b bzw. im zweiten Fall die Seite a übereinstimmt mit den gegebenen Angaben:
Die Winkel bei dir stimmen aber nicht ganz, außer den 38,7° für gamma sind es:
* im gesuchten Dreieck ABC 98,2° und 43,1°
* in A'BC 81,1° und 59,5° (dort dann b≈3 km)
* in AB'C 4,2° und 137,1° (dort dann a≈0,26 km)
ich finde, dass eine Angabe zuviel angegeben ist.
c² = 4,75
c = 2,18
Das Dreieck ist überbestimmt, aber die Werte sind nicht widersprüchlich. Das Problem besteht in der Anwendung des Sinussatzes bei stumpfwinkligen Dreiecken.