Sinussatz mit 2 Lösungen?
Ich habe hier eine Aufgabe bekommen und möchte die Winkel errechnen und zwar speziell mit dem Sinussatz. Gegeben habe ich a=105 und b = 94,4 und c = 35 und beta = 63°
Das Dreieck kann eindeutig gezeichnet werden.
Gamma über Sinussatz ohne Probleme:
sin(gamma) / 35 = sin(63°) / 94,4
gamma = arcsin( 35 * sin(63°) / 94,4 ) = 19,3° (✓)
Innenwinkelsummensatz liefert: 180° - 19,3° - 63° = 97,7° (✓)
Jetzt das Problem:
sin(alpha) / 105 = sin(63°) / 94,4
sin(alpha) = 105 * sin(63°) / 94,4 = 0,991
alpha = arcsin( 0,991 ) = 82,3° (falsch)
Es klappt nur wenn gilt:
sin(180° - alpha) = 0,991 da sin(82,3°) = sin(97,7°) = 0,991
180° - alpha = 82,3° ---------> 97,7° (✓)
Mit dem Kosinussatz klappt es. Der Taschenrechner liefert immer den kleineren Winkel.
Muss ich jetzt beim Sinussatz immer das Dreieck zur Kontrolle zeichnen?
2 Antworten
In diesem Beispiel hätte man Winkel α mittels Winkelsumme im Dreieck ermitteln können und hätte direkt gesehen, dass der Winkel α stumpf ist.
Die Winkelberechnung mittels Sinussatz ist nicht eindeutig, da zu einem Sinuswert 2 Winkel kleiner 180° passen.
Da das Dreieck eindeutig definiert ist (3 Seiten sind gegeben), kann nur einer der beiden Winkel passen.
Der Rechner zeigt immer den spitzen Winkel an.
Man kann daher eine Skizze machen, um festzustellen, ob ein stumpfer Winkel dabei ist oder man rechnet, wenn 3 Seiten gegeben sind, den größten Winkel, also den Winkel, der der größten Seite gegenüberliegt, mittels Kosinussatz. Der Kosinussatz ist immer eindeutig. Anschließend kann problemlos mit dem Sinussatz weitergerechnet werden.
Da sin α = sin (180° - α)
ist, kannst du beim Sinus manchmal Probleme kriegen und musst dir die Umgebung ansehen.
Bei den üblichen trigonometrischen Rechnungen ist es aber ohnehin meist nur möglich, mit dem Kosinussatz anzufangen. Und dann ist die Sache relativ eindeutig.