[Physik] Ursprung der bekannten Gravitationsfeldkonstante g?
Guten Abend,
kann jemand für mich überprüfen, ob ich die Aufgabe richtig berechnet habe? Ich habe nicht gerundet, habe jedoch zwei leicht von sich abweichende Ergebnisse erhalten.
Zudem habe ich noch keine Idee, woher der Zahlenwert für die Gravitationskonstante g = 9,81 N/kg kommen könnte.
Bitte so ausführlich wie möglich erklären, das würde mir wirklich sehr helfen.
5 Antworten
Die Rechnung stimmt..
Begründung zur Abweichung:
1) g = 9,81 m/s^2 ist ein gemittelter Wert. Der Ortsfaktor an den Polen beträgt 9,83, am Äquator 9,79 m/s^2. Das hängt damit zusammen, dass die Erde keine ideale Kugel ist, sondern an den Polen etwas abgeflacht ist, wodurch durch den geringeren Radius der Orstfaktor steigt.
2) Am Äquator muss man aber zusätzlich die Fliehkraft berechnen, denn die Bahngeschwindigkeit am Äquator beträgt immerhin rund 1600 km/h. Diese Fliehkraft verringert den Ortsfaktor gegenüber der reinen Schwerkraft. Das ist zwar nicht viel, aber immerhin reicht es, den Ortsfaktor um rund 0,07 m/s^2 abzusenken. (Das auszurechnen ist auch eine beliebte Physikaufgabe).
Die Gravitationskonstante ist eine Naturkonstante, deren Wert nur experimentell bestimmt werden kann. Der beste bekannte Wert ist G=6.6743⋅10¯¹¹ N⋅m²/kg². Sie taucht unter anderem im Newtonschen Gravitationsgesetz auf, F=GMm/r².
Die Fallbeschleuigung auf der Erdoberfläche ist g≈9.81 N/kg. Hätte die Erde exakte Kugelsymmetrie, dann könnte man g aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz ausrechnen, indem wir F=mg=GMm/r² ansetzen und g=GM/r² bekommen.
Aber das entspricht nicht wirklich der exakten, meßbaren Fallbeschleunigung, die von Ort zu Ort auf der Erde um bis zu 1% schwanken kann. Die Gründe dafür sind vielfältig
- Zunächst einmal ist die Erde keine Kugel, sondern ein oblates Rotationsellipsoid. Das bedeutet, daß man am Äquator weiter weg vom Erdmittelpunkt ist (Rₑ=6378.14 km) ist als am Pol (Rₚ=6356.75 km) und daher auch etwas weniger Gravitation spürt.
- Dazu kommt die Erddrehung, die eine Zentripetalkraft erzeugt, die der Gravitation entgegengerichtet ist. Die hängt vom Abstand zur Erdachse ab, und der ist am Äquator natürlich viel größer als am Pol.
- Diese beiden Effekte hängen nur von der geographischen Breite ϑ ab.
- Außerdem gibt es Berge; am Berg ist man weiter vom Erdmittelpunkt auch auch von der Erdachse entfernt als auf Meeresspiegel. Wir müssen also auch noch die Seehöhe h berücksichtigen.
Mit ein bißchen Schulmathematik über Ellipsen und Trigonometrie kann man diese Effekte berücksichtigen. Die Formel für den Abstand zum Erdmittelpunkt lautet dann
und dazu muß gegebenenfalls noch die Seehöhe h addiert werden. Für die Fallbeschleunigung erhält man dann
wobei der erste Term einfach aus dem Gravitationsgesetz kommt und der zweite die Zentripetalkorrektur ist (τ=86164 s ist die Länge eines siderischen Tages).
Mit dieser Formel kannst Du Dir also ausrechnen, wie groß die Fallbeschleunigung an Deinem Wohnort ist. Allerdings sind die Resultate immer noch nicht korrekt, weil wir die inhomogene Massenverteilung der Erde außer Acht gelassen haben — weil das Gestein nicht überall gleich dicht ist, kommen noch Fehler in der Größenordnung von 1 bis 2‰ dazu, und die gemessene Richtung der Gravitation muß auch nicht genau zum Erdmittelpunkt zeigen. Diese Fehler lassen sich leider nicht mit einer einfachen Formel beheben.
Beispielsweise liegt Bogotà bei äquatornahen ϑ=−4° und h=2640 m Seehöhe; daraus folgt eine überdurchschnittlich kleine Schwerebeschleunigung von 9.76 N/kg. Andererseits liegt Reykjavík weit im arktischen Bereich (ϑ=64°) und auf Meereshöhe, aus beidem folgt ein erhöhter Wert für g=9.85 N/kg. Leider finde ich im Internet keine Seite, wo ich die echten Schwerebeschleunigungen für diese Orte nachschlagen könnte; vermutlich sind sie in Wahrheit etwas weniger extrem.
define g(x,h) {if (x==pi/2) x=x-10^-10; return gg*mm/(rr(x)+h)^2-(2*pi*c(x)/tt)^2*(rr(x)+h)}
define rr(x) {return sqrt(rpol^2 + (rpol^2*(req^2-rpol^2))/((req*t(x))^2+rpol^2))}
tt=86164
rpol=6356752.3
req=6378137
gg=6.674*10^-11
mm=5.972*10^24
g(4.711/180*pi,2460)
9.757
g(64.147/180*pi,0)
9.845
Ich habe mir während des Studium immer mal Physikvorlesungen reingezogen, aber das braucht man für dieses Beispiel nicht. Das ist wirklich elementar durchzurechnen, und die größte Gefahr ist es, daß irgendwo ein Faktor unter den Bruchstrich fällt oder ein Vorzeichen spontan mutiert.
Woher hast Du den Programmcode? Kannst Du auch programmieren?
Das ist nur schnell in bc eingetippt. Es steht hauptsächlich deshalb da, daß ich mir den ganzen Schlunz nicht neu eintippen muß, wenn eine Rückfrage kommt.
Ja, Programmierkenntnisse sind für Quantenchemiker Pflicht.
Mit welchen Programmiersprachen arbeitest Du viel? Was musst Du als Quantenchemiker programmieren?
Die Programme sind alle in Fortran geschrieben, aber es ist gut, wenn man noch mehr kann. Insbesondere Scriptsprachen, damit man irgendwelche Arbeitsabläufe automatisieren kann.
Nein, ich habe sie mir abgeleitet und dann im Internet verifiziert.
Zunächst einmal müssen wir wohl die Begriffsbestimmungen vornehmen. Die Gravitationsfeldkonstante ist eine Naturkonstante mit dem Formelzeichen "G", also einem großen Buchstaben. Sie ist der Proportionalitätsfaktor für die Beziehung zwischen zwei Massen und deren Abstandsquadrat und der Gravitationskraft, mit der sich die Massen anziehen. Es gilt die Beziehung:
F = G * M*m/r²
G = 6.67 * 10⁻¹¹ m³/(kg*s²)
Nun ist in der Aufgabenstellung lediglich der Erdradius und eine Masse (100 kg) angegeben. Zur Berechnung der Kraft benötigt man aber auch die Erdmasse und die Gravitationsfeldkonstante G. Da steht man natürlich erst einmal auf der Leitung, weil man nicht wissen kann, was verlangt wird. Soll man die unbekannten Größen recherchieren? Dann hätte man auch den Erdradius nicht angeben müssen. Also warum nur den Radius und nicht die Masse? Das ist schon mal ziemlich blöd.
Wenn man nun die fehlenden Werte recherchiert hat, dann kann man rechnen:
F = 6,.67 * 10⁻¹¹ m³/(kg*s²) * 5,9722 · 10²⁴ kg * 100 kg/(6,370 * 10⁶ m)²
F = 981,71 N(ewton)
Das ist also die Kraft, die auf die Masse eines Körpers von 100 kg im Schwerefeld der Erde wirkt. Folglich ist die spezifische Kraft, die pro Kilogramm wirksam ist:
g = 981,71 N/100 kg = 9,817 N/kg.
Und das ist genau der sogenannte Ortsfaktor, den man üblicherweise mit:
g = 9,81 m/s² angibt.
Die Einheitenumrechnung: 1 N = 1 kg * m/s²
1 N/kg = m/s²
Dabei möchte ich noch anmerken, dass G eine universelle Konstante ist, g aber nicht, da sich das Ergebnis der Rechnung natürlich mit dem Radius ändert. Ein g auf dem Gipfel de Himalaja ist ein anderes als in den Niederungen in Israel.
Zudem habe ich noch keine Idee, woher der Zahlenwert für die Gravitationskonstante g = 9,81 N/kg kommen könnte.
Daraus folgt:
Ich habe nicht gerundet
Doch, hast Du, denn 9,81 m/s² ist ein gerundeter Wert für das, was auf der rechten Seite steht und zudem ist 6370 km auch nur ein mittlerer, gerundeter Wert für den Erdradius. Um zu 9,81 m/s² zu kommen muss man einen Erdradius von 6374,34 km zugrunde legen. Außerdem ist die Masse der Erde gerundet (genauer wäre: 5,9722 · 1024 kg). Und damit erklärt sich dann auch der Unterschied Deiner beiden Rechnungen.
Anmerkung: Die Gravitationskonstante ist G und nicht "g". Mit "g" ist die Erdbeschleunigung (aka "Ortsfaktor" oder "Fallbeschleunigung") gemeint und die ist keine Konstante, da sie vom Ort auf der Erde abhängig ist.
Wenn Du eine Größe wie die Masse der Erde nur mit einer signifikanten Stelle angibst, musst Du Dich nicht sonderlich wundern dass das Ergebnis auch nur auf die erste Stelle genau ist… Gilt grundsätzlich und nennt sich Fehlerrechnung. Jede Rechnung ist ungenau und da geht natürlich die Genauigkeit der einzelnen Parameter ein.
Hast Du auch Physik/Mathematik studiert?