[Mathe] Zeigen, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist?
Guten Abend,
kann mir jemand dabei helfen, wie man hier zeigt, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist?
Ich freue mich über eure Erklärungen! 😊
Meine Versuch:
3 Antworten
Also ich würde das 1/2 vor der Klammer stehen lassen, um die Sache zu vereinfachen.
man muss dann nur die Klammer ableiten, was nach der Summenregel erginbt:
d/dx (x - sin(x)*cos(x)) = 1 - d/dx (sin(x)*cos(x))
Das d/dx (sin(x)*cos(x)) kann man nun getrennt nach der Produktregel ableiten:
d/dx (sin(x)*cos(x)) = cosx * d/dx (sin(x) + sinx*d/dx (cos(x)
mit d/dx (sin(x) = cos x
und d/dx (cos(x) = - sinx
ergibt sich damit:
d/dx (sin(x)*cos(x)) = cos^2 x - sin^2 x
Nun wenden wir den Tip am Rande an:
Aus cos^2 x + sin^2 x = 1 folgt:
cos^2 x + sin^2 x - 2 sin^2 x= 1 - 2 sin^2 x
cos^2 x - sin^2 x= 1 - 2 sin^2 x
und damit:
d/dx (sin(x)*cos(x)) = 1 - 2 sin^2 x
Das setzen wir nun ganz oben ein:
F'(x) = 1/2(1 - (1 - 2 sin^2 x)) = 1/2 (1 - 1 + 2sin^2 x) = 1/2 * 2 sin^2 x = sin^2 x = f(x)
q.e.d.
Bei der Substitution hättest Du das Minuszeichen nicht mitnehmen dürfen!
Bei Dir heißt es ja F(x)=1/2x - uv
D. h. das u ist hier =1/2sin(x), nicht -1/2sin(x) und v=cos(x). Zudem hast Du beim Zusammenfassen hinten einen Vorzeichenfehler drin - bei Dir müsste es ab der vorletzten Zeile hinten +1/2sin²(x) heißen!
Davon abgesehen hätte ich aber auch den Anfangsterm mit der 1/2 vor der Klammer so stehen lassen und in der Klammer mit u=sin(x) und v=cos(x) abgeleitet.
Mit "Deinem" ausmultiplizierten Term kommst Du dann auf:
F'(x)=1/2-(1/2cos(x)cos(x)+1/2sin(x)(-sin(x)))=1/2-(1/2cos²(x)-1/2sin²(x)).
Jetzt nutzt Du den Hinweis sin²(x)+cos²(x)=1, also cos²(x)=1-sin²(x)
Das für cos²(x) eingesetzt ergibt:
=1/2-(1/2(1-sin²(x))-1/2sin²(x))
=1/2-(1/2-1/2sin²(x)-1/2sin²(x))
=1/2-(1/2-sin²(x))
=1/2-1/2+sin²(x)
=sin²(x)
Voilà.
Und hättest Du wie erwähnt die 1/2 als konstanten Faktor vor der Klammer gelassen, hätte ich mir hier einige 1/2 als Schreibarbeit ersparen können! :)
Entweder du integrierst f(x), was sicher schwieriger ist, als wenn du F(x) einfach ableitest, denn dann müsste f(x) rauskommen, wenn es eine Stammfunktion ist. Achtung Produktregel beachten.
Wenn ich wüsste wie das Ableiten solcher verketteten trigonometrischen Funktionen funktioniert, hätte ich die Frage nicht gestellt - Vielleicht magst du mir ja dabei weiterhelfen :-)