Ladungsverteilung Multiple Choice?
Kann mit jemand erklären wieso B richtig ist? Bei C haben doch alle den größtmöglichen Abstand zueinander
2 Antworten
Zwei Kugeln werden bestimmt an den Rand gehen, damit die einander und den anderen maximal ausweichen können. Die beiden verbleibenden Kugeln müssen symmetrische Positionen einnehmen. Wenn wir das ganze Intervall von 0 bis 1 ansetzen (also, l=1 ohne Verlust der Allgemeinheit), dann haben wir also Kugeln bei den Positionen 0, x, 1−x und 1. Dabei müssen wir das x suchen, das die Abstoßungsenergie minimiert (Spoiler: x=0.31926).
Die Abstoßungenergie ist ergibt sich dabei aus der Summe der paarweisen Abstoßungen, und die hängen nur vom Abstand von jeweils zwei Kugeln ab. Kugel Eins ist von den anderen dreien x, 1−x und 1 entfernt, Kugel Zwei von den restlichen beiden 1−2x und 1−x, und Kugel Drei hat zu Kugel Vier einen Abstand von x. Also schreiben wir eine Funktion V auf, die die Summe der reziproken Abstände ist (für die echte Energie bräuchten wir nach V=q₁q₂/r/(4πε₀) noch ein paar Konstanten, aber die brauchen wir nicht, weil wir am Ende ja doch nur gleich Null setzen)
Das ist die Funktion, deren Minimum man suchen muß. Hier siehst Du sie im Intervall von Null bis Eins geplottet (violett), und türkis zeige ich noch die erste Ableitung (einmal echt und einmal mit 100 multipliziert, so daß man den Schnittpunkt besser sehen kann).
Das Minimum der Funktion bzw. die Nullstelle der ersten Ableitung liegt nicht am von Dir erwarteten symmetrischen Punkt x=⅓, sondern bei x=0.31926. Diesen Zahlenwert bekommt man aus einer quartischen Gleichung, und das mag ich jetzt nicht vorführen. Du siehst aber selbst mit freiem Auge, daß er nicht bei ⅓ liegt, sondern bei einem etwas kleineren Wert (d.h., die mittleren Kugeln liegen ein Stückchen näher am Rand als aneinander).
Intuitiv sollte es klar sein, warum die Lösung x<⅓ herauskommt: Würdest Du sie genau bei x=⅓ hinlegen, dann wäre Kugel 2 nicht im Gleichgewicht. Die Kräfte von Kugel 1 und Kugel 3 heben sich zwar genau auf, aber Kugel 4 würde sie immer noch nach links, also zu kleinerem x, drücken.
nehmen wir mal zB die zweite Ladung von links: sie hat eine abstoßende Ladung links von sich, aber zwei rechts von sich, wird sich also aus der äquidistanten Position nach links bewegen, bis die Kräfte von links und rechts gleich sind.
Schnell, qualitativ und anschaulich. Dafür habe ich lang gerechnet …