Komplexe Zahlen mit Eigenschaften bestimmen?
2 Antworten
Der Tipp, die ersten Folgenelemente auszurechnen, ist sehr hilfreich. Unglücklicherweise ist so eine Fleißaufgabe mit einem Computeralgebraprogramm einfacher zu leisten als mit Bleistift und Papier.
Wenn man es irgendwie trotzdem zuwege bringt sieht an folgendes:
Erstens: Es gilt:
und daraus folgt, dass für allgemeine Exponenten gilt:
wobei n mod 6 den nichtnegativen Rest meint, der beim Teilen durch 6 bleibt.
Das kann man auch anders begründen: Für Exponenten, die größer als 6 sind, kann man so oft den Faktor z^6 abspalten, bis nur noch ein Restfaktor übrig bleibt, dessen Exponent kleiner als 6 ist.
Zweitens:
Die gesuchten 6 komplexen Zahlen , gegen die Teilfolgen konvergieren können, sind gerade z^1, z^2, z^3, z^4, z^5 und z^6. Diese sechs Zahlen sind alle voneinander verschieden. Wenn man sie in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnet, erkennt man, dass sie die Eckpunkte des regulären Sechsecks bilden, dessen Umkreis den Radius 1 hat.
Die Teilfolgen sind:
Dies sind jeweils konstante Folgen.
Nachtrag:
Es ist clever, die Zahl
in die Polarform umzurechnen. Man kommt auf einen Radius 1 und den Winkel -60°. In dieser Darstellung kann man auch multipliziern und erkennt unmittelbar, dass das wiederholte Potenzieren die Eckpunkte des regulären Sechsecks im Einheitskreis liefert.( Ich hoffe sehr, dass die Rechenregeln für das Multiplizieren in der Polarform im Unterricht behandelt wurden.)
vielleicht hilft es dir, wenn du siehst, das z eine Lösung von
ist? Schau dir das mal am Einheitskreis an, dann wirst du auch die Aufgabe besser verstehen.
