Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe zum Thema Integralrechnung weiterhelfen?
Wie berechne ich hier die Tangentengleichung, wenn ich für den Punkt b nur Parameter gegeben habe und keinen Punkt wie z.b. p(1/2)
3 Antworten
Steigung der Tangente ist die Ableitung am Punkt t, also
Und jetzt setzen wir noch den Punkt (t | f(t)) in die Geradengleichung und wir haben die Tangente (die Tangentengleichung ist einfach nur eine gerade y = mx + c; für y nehmen wir den y-Wert des Punktes t, also t³):
Und jetzt kennen wir m und c, also
Habe es jetzt verstanden. 3t^2 ist ja nur eine Zahl und t ist ja nur ein Parameter. Somit haben wir eine lineare Funktion
Natürlich ist es linear, wir haben tangente(x) - also ist nur x der Parameter und x steht linear in der Gleichung.
Dass wir hier noch t² und t³ haben, ist insoweit unproblematisch, weil diese insoweit konstant sind. Diese werden einmal festgelegt und gelten dann für die gesamte Funktion, unabhängig von x.
Es handelt sich, um genau zu sein, um eine Funktionsschar, um eine Schar linearer Funktionen. Jedes t hat seine eigene lineare Funktion,
z.B. für t = 1 haben wir tangente(x) = 3x - 2
Für t = 0: tangente(x) = 0 .
Für t = -1: tangente(x) = 3x + 2
Für t = 2: tangente(x) = 12x - 16
Für t = -2: tangente(x) = 12x + 16
usw.
Wie erhalte ich die nullstelle von t(x) ? Ich habe t(x) = 0 gesetzt und habe für x= 2t^3 : 3t^2 rausbekommen ist das richtig ?
Ja, aber hier bitte, bevor Du durch t teilst, Fallunterscheidung: Wenn t = 0, dann ist x immer Null. Wenn t nicht 0 ist, dann darfst Du durch t teilen. Im Ergebnis stimmt aber immer x = t * (2/3). Bei Teilen durch Variable immer bestimmen, ob Variable 0 sein kann! Denn durch 0 teilen ist nicht definiert.
Wobei, ich sehe gerade, in der Aufgabe ist t > 0 definiert, Du kannst also direkt durch t teilen, da t nicht 0 sein kann.
Der Rest ist dann ja easy, vom Integral das Dreieck abziehen und es kommt 1/12t^4 raus.
Welches integral meinst du? Das gesamte integral von 0 bis 5
Integral von 0 bis t. Das ist die Fläche unter der Kurve. Davon dann das Dreieck abziehen (Schnittpunkt Tangente mit f(x), Schnittpunkt Tangente mit X-Achse und als dritter Punkt t).
Es ging auch, eine Differenzfunktion zwischen f(x) und Tangente zu bauen und davon das Integral zu bilden, ist aber komplizierter.
umgekehrt: F(x) = 1/4 x^4. Wir bilden das Integral von 0 bis t, das ist dann
F(t) - F(0) = 1/4t^4 - 0 = 1/4 t^4.
Wie genau ziehe ich das Dreieck davon ab:
Bzw wie kriege ich den Schnittpunkt von t(x) und f(x) heraus? Setze ich beide einfach gleich und löse nach x auf ?
der Schnittpunkt der Tangente mit f(x) hatten wir doch oben schon, der ist bei x = t und bei y = f(t) = t³. Die Höhe ist also t³. Die Breite ist die Länge von Schnittpunkt 2/3 t bis zu t, also t - (2/3)t = 1/3 t. Das Dreieck ist damit
1/2 * Höhe * Breite = 1/2 * t³ * 1/3t = 1/6 t^4.
Und das ziehen wir von 1/4 t^4, der Integralfläche unter der Kurve, ab.
Meinst du den Flächeninhalt des Dreiecks abziehen ?
Das muss doch eine afb 3 Aufgabe sein ? Oder ist diese Aufgabe vom Niveau her einfach
Welche Klasse bist Du? Das ist eine klassische, einfachere Integralaufgabe, ein bisschen Geometrie mit drinnen. Aber von afb wohl 3, also eigenständige Transferleistungen werden verlangt. Diese afb kenne ich jedoch nur wenig.
Die Tangentengleichung enthält dann eben auch t als Parameter. Allgemein gilt für die Gleichung einer Tangente an einen Punkt P(x0|f(x0):
Also lautet die Tangentengleichung für x0 = t:
und mit
folgt dann
Korrektur aufgrund von Hinweis von Piddle (Danke dafür)
(Der Verschreiber könnte verwirren: f'(x) = 3t², nicht 2t².
Es ist also t(x) = 3t²x - 2t³.)
Danke, ich hab es grade bemerkt, als ich 0 für die Flächen herausbekommen hab. Ich korrigiere das.
Wie erhalte ich die nullstelle von t(x) ? Ich habe t(x) = 0 gesetzt und habe für x= 2t^3 : 3t^2 rausbekommen ist das richtig ?
Richtig schon, aber man kann ja noch t² kürzen und hat dann x = (2/3)·t. Macht das Integrieren dann "ansehnlicher"
Wie üblich:
g(x) = mx + b sei die Tangentengleichung
Dann muss gelten: m = f'(t) und g(t) = f(t) liefert b
Aber das ist doch keine lineare Funktion oder ? Eine tangente muss doch eine Gerade sein, welche eine Steigung in einem bestimmten Punkt hat.