Ich finde für die gegeben Funktion keine lok. Extrempunkte? Wie kann es dann sein, dass es laut Lösung Extrema gibt? Wie finde ich diese denn?
2 Antworten
Stichwort: Randextrema
Nicht nur dort, wo die Funktion differenzierbar ist (wo dann f'(x) = 0 als notwendige Bedingung für eine Extremstelle gilt) kann es Extrema geben, sondern auch dort, wo die Funktion nicht differenzierbar ist, und auch an den Rändern des Definitionsbereichs.
Dementsprechend sind hier insbesondere auch die Stellen x = -11, x = -3, x = 3 und x = 11 interessant, und sollten auf Vorliegen eines Extrempunkts untersucht werden.
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Zunächst einmal habe ich hier eine Skizze des Graphen der Funktion, damit du eine bessere Orientierung hast...
- Beim Punkt A( -11 | 1/4 ) hat die Funktion ein relatives Minimum.
- Beim Punkt B( -3 | √(6) ) hat die Funktion ein relatives Maximum.
- Beim Punkt C( 3 | 0 ) hat die Funktion ihr absolutes Minimum.
- Beim Punkt D( 11 | 8 ) hat die Funktion ein relatives Maximum.
Ist dir klar, warum das jeweils so ist, oder soll ich da auf einen (oder mehr) Punkte genauer eingehen?
Kannst du mir erklären was mit differenzierbar gemeint ist und wie ich eine Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen kann? (Vor allem bei Funktionen mit mehreren Intervallen)
Differenzierbarkeit bedeutet, dass der Differentialquotient an der entsprechenden Stelle existiert.
https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Differenzierbarkeit
Bei solchen Funktionen, die abschnittsweise definiert sind, hat man oftmals innerhalb der einzelnen Intervalle kein Problem... Da kann man meist sagen: „Die Funktion ist innerhalb der entsprechenden Abschnitte gleich einer Funktion, die offensichtlich als Summe/Differenz/Produkt/Quotient/Verkettung von bekanntermaßen differenzierbaren Funktionen differenzierbar ist.“
Dann bleiben noch die Übergangsstellen (und gegebenenfalls die Ränder des Definitionsbereichs) übrig, die man überprüfen muss. Dort bleibt einem oftmals nicht allzu viel anderes übrig, als direkt den entsprechenden Differentialquotienten zu betrachten. Im konkreten Fall (bei deiner Aufgabe) kann man beispielsweise erkennen, dass an der Stelle x = 3 der linksseitige Differentialquotient (- unendlich) und der rechtsseitige Differentialquotient 1 ist. Der beidseitige Differentialquotient existiert also nicht (da die beiden einseitigen Differentialquotienten nicht übereinstimmen bzw. bereits der linksseitige Differentialquotient schon gar nicht existiert).
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Und eine zweite Frage hätte ich auch noch. Bei uns wird in der Lösung explizit nach einem lok. Min. und einem lok. Max. gefragt. Da stellt sich mir jetzt die Frage was ist hier jetzt das Lok. Min und Lok. Max. -> vermutlich ist das Lok. Min. Bei (3/0), aber wo ist das Lok. Max
Vermutlich will der Aufgabensteller (3 | 0) als lokales Minimum und ( -3 | √(6) ) als lokales Maximum angegeben haben. Aber: Die Aufgabe ist tatsächlich gar nicht eindeutig lösbar, da die Funktion zwei relative Minima und zwei relative Maxima hat.
Top. Danke. Eine Frage hätte ich noch. Undzwar zur Konvexität/ Konkavität (habe dazu auch eine neue Frage hochgeladen).
Gegeben war ja in der Aufgabe, dass die Fkt. im Bereich von -11 bis -7 konvex ist.
Meine Lösung zur Konkavität wäre, dass sie im Bereich von -3 bis 3 konkav ist. Ist das richtig?
Die Frage habe ich bereits gesehen und inzwischen auch geantwortet. Ja, da hast du recht.
Danke für die super schnelle Antwort. :)
Hätte noch eine Frage zur Differenzierbarkeit. Komme da nicht weiter. Wenn du dich da auskennen solltest kannst du dir gern meine neuste Frage angucken
Oft hilft eine Skizze:
Ich sehe da ein lokales Maximum und lokales Minimum (Nicht immer greifen bei solchen Untersuchungen die bekannten Ableitungsbedingungen). Schau Dir mal die formale Definition eines lokalen Extremwerts an.
Das habe ich mir schon gedacht, dass das damit gemeint ist. Aber wie soll denn das dann bitte bei dem Maximum sein. Der x wert wäre -7 aber was wäre denn der y wert?
und bei dem Minimum wäre es vermutlich einfach (3|0) oder?
Der x wert wäre -7 aber was wäre denn der y wert?
Nein. x = -7 ist nicht das Maximum, das ist hier eine Polstelle. Ich hatte Dir geraten, Dir die formale Definition von lokalem Extremwert anzusehen und dann schaust Du Dir x = -3 an.
Kannst du mir erklären was mit differenzierbar gemeint ist und wie ich eine Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen kann? (Vor allem bei Funktionen mit mehreren Intervallen)
Und eine zweite Frage hätte ich auch noch. Bei uns wird in der Lösung explizit nach einem lok. Min. und einem lok. Max. gefragt. Da stellt sich mir jetzt die Frage was ist hier jetzt das Lok. Min und Lok. Max. -> vermutlich ist das Lok. Min. Bei (3/0), aber wo ist das Lok. Max