Glaobalverhalten Funktionenscharen?

Wie mache ich die b)

Answer 1

[mihisu]

Im Grunde genauso, wie du auch bei Teilaufgabe a) vorgegangen bist.

Bei solchen ganzrationalen Funktion (Polynomfunktionen) der Form...

$f(x)=a_n\cdot x^n+\ldots +a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0$

... [mit aₙ ≠ 0] überwiegt für x → ∞ bzw. x → -∞ das Verhalten des Leitmonoms...

$a_n\cdot x^n$

============

Im konkreten Fall muss man bei...

$f_a(x)=-a^2x^4+2ax^3+12x$

... eine Fallunterscheidung bzgl. a machen.

Denn für a ≠ 0 handelt es sich um eine Funktion 4-ten Grades mit dem Leitmonom...

$-a^2x^4$

Für a = 0 fallen hingegen die Summanden mit x⁴ und x³ weg, da die Koeffizienten -a² und 2a jeweils gleich 0 werden. Übrig bleibt dann f₀(x) = 12x mit dem Leitmonom...

$12x$

====== Lösungsvorschlag ======

------ 1. Fall: a ≠ 0 ------

In diesem Fall hat...

$f_{a}(x)=-a^2x^4+2ax^3+12x$

... das Leitmonom...

$-a^2x^4$

Für x → ±∞ strebt dieses offensichtlich betragsmäßig gegen ∞. Wichtig ist zu klären, ob man +∞ oder -∞ erhält.

a² und x⁴ sind jeweils wegen dem geraden Exponenten immer nicht-negativ. Also hat a² x⁴ ein positives Vorzeichen. Mit dem Minus davor hat dann -a² x⁴ ein negatives Vorzeichen. Dementsprechend erhält man -∞ beim Grenzwertverhalten.

$\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)=-\infty$

$\lim\limits_{x\to-\infty}f_a(x)=-\infty$

------ 2. Fall: a = 0 ------

In diesem Fall hat...

$f_0(x)=-0^2\cdot x^4+2\cdot 0\cdot x^3+12x=0+0+12x=12x$

... das Leitmonom...

$12x$

Für x → ±∞ strebt dieses offensichtlich betragsmäßig gegen ∞. Wichtig ist zu klären, ob man +∞ oder -∞ erhält. Das Vorzeichen des Faktors 12 ist positiv, sodass eine Multiplikation mit 12 das Vorzeichen nicht ändert. Für x → +∞ hat man positive x-Werte, sodass man dann +∞ beim Grenzwertverhalten erhält. Für x → -∞ hat man negative x-Werte, sodass man dann -∞ beim Grenzwertverhalten erhält.

$\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)=+\infty$

$\lim\limits_{x\to-\infty}f_a(x)=-\infty$

Comments

[Wechselfreund]

$\lim\limits_{x\to +\infty}f_a(x)=+\infty$ $\lim\limits_{x\to -\infty}f_a(x)=+\infty$

Sollte bei Fall 1 da nicht - unendlich stehen?

[mihisu]

@Wechselfreund

Oh... Ja, natürlich. Da hatte ich mich verschrieben. Danke.

Answer 2

[Halbrecht]

was ist , wenn a < 0 , wenn a > 0 ? 

Überlege erst , wie das Verhalten ohne a ist