Exponentielles Wachstum?
Ich komme leider gar nicht weiter bei dieser Aufgabe und ich möchte sie gerne jetzt lösen. Kann mir jemand bitte helfen?
Ist Dir klar, dass es eine exponetielle Abnahme ist, kein Wachstum!?
Ja, ich habe als Titel nur das ganze Thema geschrieben, müsste ich ändern
2 Antworten
Nach 30,2 Jahren ist die Hälfte des Cäsium zerfallen.
von 1986 bis 2024 sind es 38 Jahre (die Monate würde ich der Einfachheit halber weglassen).
Aufgabe a)
Zuerst berechnen wir die Zerfallskonstante b:
f(t)=a*b^t
1/2*a=a*b^30,2 >a kürzt sich hier weg, da es auf beiden Seiten steht
1/2=b^30,2
wir ziehen die 30,2te Wurzel auf beiden Seiten und erhalten:
b=0,9773094977
Nun berechnen wir mit Hilfe der Zerfallskonstante wie viel vom Cäsium (nach 38 Jahren) übriggeblieben ist:
f(t)=a*b^t
=a*0,977....^38 für a nehmen wir die 1, da wir uns für die Prozentangabe interessieren und nicht für eine konkrete Mengenangabe.
=0,418....
Das ist die Menge an übriggebliebenem Cäsium.
100-0,418...=0,582... das ist die Menge an Cäsium die bisher zerfallen ist.
Aufgabe b)
f(t)=a*b^t f(t) setzen wir gleich 1%=0,01 um t zu bestimmen, bei einem Restwert von 1% Cäsium. a können wir wieder weglassen, da es hier um Prozent geht.
0,01=0,977...^t wir nehmen den ln (natürlicher Logarithmus) von t um nach t aufzulösen
ln(0,01)=ln(0,977...^t) nach log Regeln umstellen
ln(0,01)=t*ln(0,977...) teilen durch ln(0,977..)
t=ln(0,01)/ln(0,977...) in den Taschenrechner eingeben....
t=197,91 (Jahre)
Bitte möglichst nicht mit Zwischenergebnissen rechnen, damit du genaue Ergebnisse erhältst. Der Einfachheit halber habe ich in meiner Erklärung mit Zwischenergebnissen gerechnet, weshalb deine Werte davon etwas abweichen könnten.
Zerfallsgesetz (Zeit t in Jahren hier)
Aufgabe a) Wir haben das Jahr 2024 also sind 2024 - 1986 = 38 Jahre vergangen:
Damit ist die Radioaktivität um ca. 58,2 % gesunken.
Aufgabe b) Löse
Nach dem Logarithmieren auf beiden Seiten und Anwendung eines Logarithmus-Gesetzes auf der linken Seite ergibt sich:
Nach etwa 201 Jahren ist die durch Cäsium-137 verursachte Radioaktivität auf unter 1% gesunken.
Anmerkung: Man kann das Ganze auch mit der von Physikern bevorzugten Form:
lösen.
Auch mit der Exponentialfunktion zur Basis "e" brauchst Du den Logarithmus um am Ende die Aufgabe b) zu lösen (siehe auch meine Anmerkung in der Antwort). Ohne Logarithmus geht das überhaupt und daher mag ich Deiner Aussage "das mit dem Logarithmusgesetz haben wir gar nicht gemacht" kaum Glauben schenken (das wurde -- wenn denn schon -- komplett verborgen und wie durch Zauberhand ist dann das "t" aus dem Exponenten nach unten gewandert - Wenn dem so ist, würde ich das als "Schwarze Didaktik" bezeichnen).
Und dann noch Folgendes: Auch diese Lösung basiert auf einer Exponentialfunktion. Nur ist hier die Basis nicht e, sondern 1/2 und offen gesagt finde ich die zu Schulzwecken, um Längen einfacher zu verstehen, als die zur Basis e mit der Zerfallskonstanten λ, die man erst aus der gegebenen Halbwertszeit berechnen muss.
Wie gesagt, das mit dem Logarithmusgesetz haben wir noch nicht bearbeitet. Ich weiß ganz genau, was wir in den mathestunden bearbeiten. Wir lösen t immer durch ausprobieren. Wir setzten in unsere Formel zahlen ein bis wir den Wert haben. Das Logarithmusgesetz wenden wir also noch nicht an, vielleicht kommt das demnächst. Ist ja auch von Bundesland zu Bundesland unterschiedlich.
Wir lösen t immer durch ausprobieren.
... sowas habe ich noch nie gehört, wenn es um Aufgaben zu Zerfalls- oder Wachstumsprozessen geht und daher abschließend meine Meinung: Wenn noch kein Logarithmus und dessen Gesetze auf dem Lehrplan gestanden haben, sollte man auch keine Aufgaben stellen, in denen zur Bearbeitung mit mathematischen Methoden diese Kenntnisse unabdingbar erforderlich sind. Das macht für mich null Sinn. Und "Ausprobieren" kannst Du selbst - ich rechne.
Naja, selbst wenn du das Thema Logarithmus noch nicht hattest, kannst du ja vielleicht trotzdem damit rechnen. Besonders viel musst du da mit dem Logarithmus nicht arbeiten.
Was soll denn das heißen? Ich kann mit etwas rechnen, was ich nicht kann.
Es wird immer abstruser hier.
Also um ein bisschen Klarheit zu schaffen: An einer Realschule 10.klasse nrw steht im lehrplan nicht, dass man das Logarithmusgesetz bearbeiten muss, sondern eher Lösen durch ausprobieren. Das andere lernt man dann in der oberstufe. Kein Problem, bitte keine Lösungsansätze mehr unter dieser Frage schreiben, das geht irgendwie in einer anderen Richtung. Und bleibt bitte Respektvoll!
Das kam vielleicht etwas falsch rüber. Es war keineswegs respektlos gemeint. Wenn du einen Taschenrechner für die Schule besitzt tippst du auf ln dann deine Zahl in die Klammer ein und schließt die Klammer. Wie der Logarithmus "funktioniert" muss man dafür nicht wissen. Viel Erfolg weiterhin
Echt? Lösen durch 'Ausprobieren'? Da würde ich ja eher noch einen Solver bevorzugen!
Aber man muss die LogarithmusGesetze kennen um das ZerfallsGesetz umzuformen!
Natl. könnte man auch die logarithmierte Formel als 'KochRezept' lehren...Wäre ggf. sinnvoller als 'auszuprobieren'. Aber wenn man so beides nicht hatte, nutzt der Logarithmus nyx!
Warum fangen eigentlich alle immerbei 'Null', mit dem Zerfallsgesetz an?
Mit etwas Übung ist man gleich bei 30,2 a × log (0,01)÷log (0,5) = 200,6 a!
Das mit dem Logarithmusgesetz haben wir gar nicht gemacht. Gibt es kein anderen Weg, wie z.B mit der Exponentialgleichung?