Bedingte wahrscheinlichkeit?
Moin,
Eine von zehntausend Personen leidet an einer bestimmten Stoffwechselkrankheit. Für diese Erkrankung gibt es einen einfachen diagnostischen Test, der bei Kranken mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% und bei Gesunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% die korrekte Diagnose liefert.
Bezeichnungen: K "Die getestete Person ist krank"
T "Der Test zeigt ein positives Resultat"
Gesucht: wahrscheinlivhkeit, dass jemand krank ist, der test aber gesund anzeigt.
Satz von Bayes: [(1/1000)*0,1]/0,98= 0,00001
Stimmt das so?
Rechenweg:
Mit baumdiagrammen
Wie kommst du auf 0,98?
Da die Wahrscheinlichkeit, dass er egal was positiv anzeigt 2% ist, muss die wahrscheinlichkeit, dass er negativ anzeigt doch 98% sein, oder?
3 Antworten
Eine von zehntausend Personen leidet an einer bestimmten Stoffwechselkrankheit
Gegeben sind: Eine von 10.000 Personen ist krank:
P(K) = 1 ÷ 10.000
Umgekehrt sind dann 9.999 von 10.000 Personen gesund:
P(K‾) = 9.999 ÷ 10.000
der bei Kranken mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%
Unter der Bedingung, dass die Person krank ist, zeigt der Test ein positives Ergebnis an (richtig-positiv):
P(T|K) = 90%
Daraus kann man schlussfolgern, dass der Test unter der Bedingung, dass die Person gesund ist, in 10% der Fälle versagt, also ein falsch-positives Ergebnis anzeigt:
P(T|K‾) = 10%
und bei Gesunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% die korrekte Diagnose liefert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei Gesunden ein korrektes Ergebnis anzeigt - also ein richtig-negativer Befund:
P(T‾|K‾) = 98%
Daraus folgt: In 2% der Fälle zeigt der Test ein negatives Ergebnis, obwohl die Person krank ist:
P(T‾|K) = 2%
Gesucht: wahrscheinlivhkeit, dass jemand krank ist, der test aber gesund anzeigt.
Gesucht ist also die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank ist, unter der Bedingung, dass der Test das falsch-negative Ergebnis anzeigt.
Dafür gilt mit nach dem Satz von Bayes:
P(K|T‾) = P(T‾|K) • [ P(K) ÷ P(T‾) ]
P(T‾|K) und P(K) sind bekannt, P(T‾), also die Wahrscheinlichkeit, dass der Test "negativ" anzeigt, fehlt. Diese ergibt sich durch
P(T‾) = P(T‾∩K) + P(T‾∩K‾)
mit
P(T‾∩K) = P(T‾|K) • P(K)
und
P(T‾∩K‾) =P(T‾|K‾) • P(K‾)
Also ist P(T‾)
P(T‾) = 0,02 • (1/10.000) + 0,98 • (9.999/10.000) ≈ 97,99%
Einsetzen für die Berechnung von P(K|T‾):
P(K|T‾) = 0,02 • [ (1/10.000) ÷ 0,9799 ] ≈ 2,004•10^-6
D.h. die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist sehr klein und beträgt etwa 1 zu 500.000. Also eine Person von 500.000 ist krank und bekommt ein falsch negatives Ergebnis angezeigt. Das ist schlüssig, da die Krankheit bereits sehr selten auftritt und der Test eine hohe Genauigkeit aufweist. Außerdem sieht man, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test negativ anzeigt, fast genauso groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test bei einer gesunden Person negativ anzeigt (vgl. P(T‾) und P(T‾|K‾)).
P(K|T‾) = 0,02 • [ (1/10.000) ÷ 0,9799 ] ≈ 2,004•10^-6
Ich denke, statt 0,02 müsste hier 0,1 stehen? Ich erhalte etwa 10^-5 (auch wenn es unklar ist, ob die Aufgabe so gemeint ist).
Genau. "Falsch" insofern, dass er in 10 Prozent der Fälle positiv anzeigt, obwohl die Person gesund ist. Also P von "positiv" unter der Bedingung "nicht-krank".
P(T‾|K) ist aber P von "nicht-positiv" unter der Bedingung "krank". Das sollten dann 2% sein.
"Nicht-positiv" ist nicht automatisch "falsch". Sondern "falsch" und "richtig" hängen davon ab was der Test in Abhängigkeit der Bedingung anzeigt, d.h. ob er kranke und gesunde Menschen zuverlässig unterscheidet.
Hallo,
da brauchst Du keinen Satz von Bayes.
1/10000 der Menschen haben die Krankheit, bei 10 % der Kranken zeigt der Test ein falsch negatives Ergebnis.
10 % von 1/10000 sind 1/100000.
Interessanter wäre es, wenn danach gefragt würde, wie wahrscheinlich es ist, daß ein vorliegendes negatives Ergebnis von einem Kranken kommt. Da wäre der Satz von Bayes am Platz.
Herzliche Grüße,
Willy
Gesucht: wahrscheinlivhkeit, dass jemand krank ist, der test aber gesund anzeigt.
Da hätte ich jetzt gemeint: Die W.keit, dass jemand krank ist, bei dem der Test gesund angezeigt hat
Gesucht: Negativ, wenn krank. Das ist etwas anderes als krank, wenn negativ.
Das wäre dann sogar 10 %, wenn das Ereignis Krank bereits vorausgesetzt ist.
Man muß unterscheiden, was genau gemeint ist. Insgesamt ist jede hunderttausendste Person krank und hat trotzdem ein negatives Ergebnis.
Betrachtet man nur die Gruppe der Kranken, hat jeder Zehnte ein negatives Ergebnis.
Somit wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Kranker ein negatives Ergebnis hat, 10 %.
Also: Entweder krank und negativ oder krank, wenn negativ oder negativ, wenn krank. Drei unterschiedliche Fragestellungen, drei unterschiedliche Ergebnisse.
Das Problem hier ist, daß man nicht weiß, ob der FS die Aufgabe wörtlich wiedergegeben hat.
Aber die frage: wie wahrscheinlich ist es, dass ein patient, der ein positives Ergebnis hat, wirklich krank ist, ist doch genau das gleiche nur umgekehrt, oder? Und das wird ja auch mit Bayes gemacht...
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß jemand krank ist, aber ein negatives Ergebnis hat. Das ist einfach (1/10000)*1/10=1/100000.
Krank, wenn positiv, ist etwas ganz anderes.
Dazu teilst Du positiv, wenn krank durch die Summe aus positiv, wenn krank und positiv, wenn gesund.
Satz von Bayes: [(1/1000)*0,1]/0,98= 0,00001
Statt 1000 müsste vorn 10 000 stehen. Und die 0,98 im Nenner stimmt auch nicht.
Aber die wahrscheinlichkeit P(Test zeigt negativ) ist doch 98% oder?
Und für P(krank) aber test ist Positiv gilt doch: [(1/10000)*0,9]/0,02?
Test negativ beinhaltet zwei Ereignisse: Negativ und erkrankt und negativ und nicht erkrankt.
Ich lade gerade mal meinen Lösungsweg hoch, vielleicht verstehe ich dann, was mein Fehler ist....
In den Nenner kommen zwei Ereignisse: Test negativ und erkrankt plus Test negativ und nicht erkrankt.
Aber warum? Das habe ich ja vorher auch nicht gemacht bei (krank, wenn test positiv)
Das stimmt auch.
Aber: Nach dem Satz von Bayes gehört in den Nenner P von krank und negativ plus P von nivht krank und negativ.
Aber warum war es dann bei der anderen aufgabe anders? Dass p krank und positiv mal p krank durch p positiv gerechnet wurde, um auf P k unter der bedingung t zu kommen?
Verstehe ich nicht. Zeichne mal ein Baumdiagramm: Erste Stufe krank - nicht krank, zweite Test positiv - negativ.
Ich lade es hoch, dabei kommme ich aber weiter auf das gleiche ergebnis...
Aber wenn er mit 90% bei einem kranken das richtige ergebnis sagt, sagt er doch mit 10% das falsche oder?