x^2 - 2 x + 5 > 0 L= reelle Zahlen?
x^2 - 2 x + 5 > 0
Wenn ich die Nullstellen ausrechne kommt x Element der leeren Menge heraus, weil Wurzel aus -16, warum ist die Lösung trotzdem die Menge der reellen Zahlen?
4 Antworten
Hallo,
die Parabel ist nach oben geöffnet und hat keine Nullstellen. Das bedeutet, daß sich der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse befindet.
Da bei einer nach oben geöffneten Parabel der Scheitelpunkt die tiefste Stelle des Graphen ist, sind sämtliche Funktionswerte größer als Null, so daß alle Werte aus R für x die Ungleichung erfüllen.
Herzliche Grüße,
Willy
Auf den Komplexen Zahlen gibt es keine Anordnung, dort kann man nicht von größer oder kleiner sprechen (es sei denn, man beschränkt sich auf den Betrag).
Stell es dir als Parabel vor.
Wenn die gesamte Parabel oberhalb der x-Achse liegt, dann sind ALLE y-Werte (also alle Funktionswerte) positiv. Also erfüllen alle x-Werte die Bedingung, für jedes x ist. x² - 2x + 5 > 0.
Wenn eine nach oben geöffnete Parabel keine Nullstellen hat (und das hast du ja hier korrekt ausgerechnet), dann liegt sie ganz über der x-Achse.
warum ist die Lösung trotzdem die Menge der reellen Zahlen
Das wäre als Lösungsmenge für die Nullstellen schlicht grundsätzlich falsch. Eine quadratische Funktion kann maximal 2 Nullstellen haben.
Hier steht aber eine Ungleichung. Die ist in der Tat für alle x ∈ ℝ erfüllt.
Es geht um die Lösungsmenge der Ungleichung
x² - 2x + 5 > 0.
Um die Lösungsmenge dieser Ungleichung zu bestimmen, rechnet man die Nullstellen des Polynoms x² - 2x + 5 aus. Das ist völlig richtig.
Dass die Funktion keine Nullstelle hat bedeutet ja nicht, dass sie eine Definitionslücke hat.
Und in der Tat deckt sich das ja mit der Ungleichung. Wenn die Funktion IMMER größer 0 ist, dann kann sie keine Nullstelle haben. Und da das Quadrat für alle Zahlen > 2 und < -2 immer größer ist als das doppelte der Zahl und für die Zahlen zwischen -2 und 2 eben gilt: x²+5 > 2x, gilt diese Ungleichung.
Er wundert sich aber, dass er alle Reellen Zahlen einsetzen darf, obwohl die Funktion keine Nullstelle hat.
Nicht alle Zahlen einsetzen zu dürfen wäre aber nur dann der Fall, wenn die Funktion eine Definitionslücke hätte. Und man kann eben aus der Nicht-Existenz einer Nullstelle nicht schließen, dass die Definitionsmenge beschränkt ist. Man kann nur schließen, dass der Wertebereich eben nicht auch ganz R ist.
Nein, er wundert sich darüber, dass ganz R die Lösungsmenge der Ungleichung ist, obwohl die Menge der Nullstellen leer ist.
Die Lösungsmenge ist aber in diesem Fall nicht der Wertebereich der Funktion, sondern der Definitionsbereich. Die Ungleichung gilt eben für alle x aus L (= den reellen Zahlen). Die Funktion nimmt aber gar nicht R als Wertebereich an.
Ich hab doch gar nichts über den Wertebereich gesagt?
Das stimmt, aber auch Du argumentierst mit der "Lösungsmenge". Die Lösungsmenge L hier ist aber die Menge der Zahlen, die er einsetzen darf, nicht die Menge der Zahlen, die von Funktionswerten abgedeckt wird.
Daher ist es sinnlos, überhaupt einen Zusammenhang zwischen der Menge der Nullstellen und der hier angegebenen Menge L herstellen zu wollen, denn offensichtlich ist die Gleichung für alle x aus R erfüllt, aber hat dennoch einfach keine Nullstellen.
Seine Frage ist im Wesentlichen also: Warum darf ich alle x aus R einsetzen, obwohl die Funktion doch gar keine Nullstellen hat?
Und die Frage ist halt Quatsch.
Nein, die Frage ist nicht Quatsch. Und es geht im ja nicht darum, ob er das einsetzen darf, sondern ob es die Ungleichung erfüllt!
Wenn ich die LÖSUNGSMENGE der Ungleichung x² - 2x + 5 > 0 bestimmen will, dann bestimme ich im ersten Schritt die Nullstellen des Polynoms x² - 2x + 5 (oder die Lösung der Gleichung x² - 2x + 5 = 0, was dasselbe ist).
Habe ich diese Nullstellen bestimmt, dann muss ich nur noch entscheiden, ob die Ungleichung zwischen diesen beiden Nullstellen erfüllt ist, oder links und rechts davon. Das ist das ganz normale Verfahren.
Nun ist der Fragesteller auf den Fall getroffen, dass das Polynom keine Nullstellen hat und ist davon offenbar irritiert, weil er nicht weiß, was er dann tun muss.
In diesem Fall muss er jetzt nur noch wissen, ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist, in einem Fall ist die Lösungsmenge ganz R, im anderen ist sie leer. Das ist das, was ihm in der Argumentation fehlt - warum kann bei einer quadratischen Ungleichung, bei der das zugehörige Polynom keine Nullstellen hat, trotzdem die Lösungsmenge ganz R sein?
OK. Ich habe hier gar nichts gerechnet, weil mir die Tatsache, dass L = R ist durch hinschauen bewusst war. Von daher ist die Frage kein Quatsch, aber durch Nachdenken zu lösen ;-)
Und wie sieht das eigentlichen mit Komplexen Zahlen aus? Kann man die nicht mit reelen Zahlen vergleichen ?