Wertebereich einer linearen Funktion und Parabel 3. Ordnung?
Noch eine Frage zu meiner Klausur:
ich sollte den Wertebereich von -x^3 + 2 und 0,5x+1,5 angeben.
als Lösung hab ich erstmal bei beidem Y ist Element der reellen Zahlen. Dann hab ich auch noch geschrieben „uneingeschränkt im Definitionsbereich“ weil ich das irgendwann mal irgendwo mitgenommen habe. Ist das richtig? Weil y kann ja alles sein außer das was außerhalb des Definitionsbereiches sein. Wir haben das so zusammen nicht im Hefter festgehalten, aber ist da was falsches dran oder hätte ich nur x Element der reellen Zahlen schreiben sollen?
6 Antworten
Ich nehme an, vor den Termen steht noch "f(x) = ", "g(x) = " o. Ä. (Oder bekommt ihr die Funktionen in dieser sehr saloppen Schreibweise vorgesetzt?)
Da die Funktionen ohnehin ℝ->ℝ-Funktionen sind, ist "Y (der Funktionswert) ist Element der reellen Zahlen redundant (überflüssig).
Die Funktions-Werte entstammen dem Werte-Bereich (und nicht dem Definitions-Bereich). Beide Funktionen sind Polynome mit ungeradem höchstem Exponenten, damit nimmt der Funktionswert jede reelle Zahl an, also ist "uneingeschränkt im Wertebereich" so ziemlich richtig. (Ein pingeliger Korrektor wird dafür Punktabzug geben, weil "uneingeschränkt" hier nicht klar genug ist.)
Oder meintest du X / x? Das ist das Funktions-"Argument" und entstammt dem Definitions-Bereich. Da die Funktionsterme für alle x ∈ ℝ definiert ist, stimmt es, dass auch der Definitionsbereich ganz ℝ ist.
Wenn du den Wertebereich angeben sollst, spielen x und der Definitionsbereich nur insofern eine Rolle, als x jeden Wert des Definitionsbereichs annimmt.
Ergänzung
Weil y kann ja alles sein außer das was außerhalb des Definitionsbereiches sein.
Hier "kann y alles sein", da f aus dem negativen unendlichen kommt und ins positive geht. er Definitionsbereich ist aber für x zuständig. Und bei f(x) = x² + 1 z.B. ist der Wertebereich alle reellen Zahlen größer gleich 1, obwohl der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist.
1.) Zu deiner Schreibweise:
"-x^3 + 2" oder "0,5x+1,5" sind keine Funktionen sondern nur Terme.
Da fehlt am Anfang y=... oder f(x)=... oder g(x)=... jenachdem wie die Funktion heißt.
Wenn dein Mathe-Lehrer auf so was achtet, dann kann das in der Klausur Punktabzüge geben, wenn du das nicht korrekt schreibst.
2.) Der Wertebereich für beide Funktionen ist ganz IR
Der Wertebereich einer linearen Funktion ist im Allgemeinen die Menge aller möglichen y-Werte, die die Funktion annehmen kann. Im Falle der Funktion -x^3 + 2 ist der Wertebereich daher "alle reellen Zahlen", da für jeden x-Wert ein y-Wert existiert, der in diese Funktion eingesetzt werden kann.
Bei der Funktion 0,5x + 1,5 ist der Wertebereich ebenfalls "alle reellen Zahlen". Auch hier gibt es für jeden x-Wert einen y-Wert, der in die Funktion eingesetzt werden kann.
Im Allgemeinen ist es richtig, dass der Wertebereich einer Funktion "uneingeschränkt im Definitionsbereich" ist, da für jeden x-Wert im Definitionsbereich ein y-Wert existiert, der in die Funktion eingesetzt werden kann. In der Regel ist der Definitionsbereich einer Funktion die Menge aller x-Werte, für die die Funktion definiert ist, also die Werte, für die die Funktion einen y-Wert berechnen kann.
In deinem Fall hast du also richtig geantwortet, indem du geschrieben hast, dass der Wertebereich von -x^3 + 2 und 0,5x + 1,5 "alle reellen Zahlen" ist. Dies bedeutet, dass für jeden x-Wert im Definitionsbereich dieser Funktionen ein y-Wert existiert, der in die Funktion eingesetzt werden kann.
Du hast Recht, dass die Funktion y = −x^3 + 2 keine lineare Funktion ist, sondern eine kubische Funktion. Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die in der Form y = mx + b dargestellt wird, wobei m und b konstante Werte sind. Eine kubische Funktion hingegen ist eine Funktion, die in der Form y = ax^3 + bx^2 + cx + d dargestellt wird, wobei a, b, c und d konstante Werte sind. In dem Fall, in dem die Funktion y = −x^3 + 2 gegeben ist, ist der Grad der Funktion 3, da der höchste Potenz vom x-Term 3 ist. Die Funktion y = 0,5x + 1,5 ist hingegen eine lineare Funktion, da der Grad der Funktion 1 ist (der höchste Potenz vom x-Term ist 1).
Der Wertebereich bezieht sich auf das y. Demzufolge ist bei beiden Funktionen/Graphen y Element der reellen Zahlen, da es nach oben/unten keine Einschränkung gibt.
Der Definitionsbereich bezieht sich auf das x. Demzufolge ist bei beiden Funktionen/Graphen x Element der reellen Zahlen, da es nach links/rechts keine Einschränkungen gibt (das kann passieren, wenn für ein bestimmtes x ein mathematischer Fehler entsteht bzw. der y-Wert dann nicht definiert ist)
Aber y kann doch theoretisch nicht alles sein, da jedem y ja auch ein x wert zugeordnet werden kann, und wenn es einen y Wert gibt der keinem x Wert zugeordnet werden kann, da der x Wert außerhalb des Definitionsbereiches liegt , was ist dann mit diesem y Wert? Existiert der dann oder nicht? Wenn nicht dann ist dieser y Wert ja schon durch den Definitionsbereich beschränkt