Wie löse ich die Matheaufgabe?
Hallo, ich verzweifle gerade sehr an dieser Aufgabe (e 1), weil die ganzen Sachen, die ich mir überlegt habe nicht mit der Kontrolllösung übereinstimmen. Das ist eine Aufgabe aus dem Abitur 2010 im Mathe LK und deswegen finde ich keine Lösungen im Internet dazu.
Also ich dachte mir, dass man den kürzesten Abstand durch die Senkrechte der Geraden herausfinden kann, aber irgendwie bin ich nur auf die Steigung gekommen und das war’s dann. Ist der Ansatz falsch? Weil mit einer Extremwertaufgabe kann man die Aufgabe auch nicht lösen oder? (Habs ausprobiert und bin auch gescheitert, kann aber auch sein, dass ich es falsch gemacht habe)
Es wäre echt super, wenn diese Aufgabe jemand lösen könnte, weil sie mich schon echt lange beschäftigt. Vielen Dank schonmal :)
Ich hoffe ich habe alle relevanten Angaben dazu geschrieben
Dir ist klar, dass das eine CAS-Aufgabe ist?
ja das auf jeden fall, aber hilft mir das?
Ich glaube, solche für CAS gibt es beim aktuellen Abitur nicht mehr.
Ah okay, dann bin ich sehr beruhigt
2 Antworten
Hallo,
ergänzend zur korrekten Antwort von Wechselfreund:
Da die Gerade eine konstante Ableitung von -1,5 besitzt, mußt Du die Ableitung von h(x), also h'(x) gleich -1,5 setzen.
Das ist aber nicht mal eben so zu machen, denn das gesuchte x steht sowohl im Exponenten der e-Funktion als auch als Variable in der quadratischen Funktion der Ableitung.
Du setzt am besten die Ableitung durch Addition von 1,5 gleich Null.
Dann wählst Du ein Näherungsverfahren wie das von Newton.
Du wählst einen Startwert x0 und berechnest die nächste Näherung an die Lösung x1 nach folgender Formel:
x1=x0-f(x0)/f'(x0).
Nutzt Du nämlich die Lösungsfunktion des Taschenrechners, bietet der Dir nur eine Lösung an, die nicht unbedingt die gesuchte sein muß.
Da sich der gesuchte Punkt M irgendwo zwischen x=1 und x=2 befinden wird, falls die Skizze halbwegs realistisch ist, wählst Du als Startwert am besten x=1,5.
Nach ein paar Iterationen solltest Du die Lösung haben (Du wiederholst die Rechnung so lange mit dem jeweils neuen Startwert, bis sich die Anzeige des Rechners nicht mehr ändert).
Du mußt also zunächst h(x) ableiten, danach diese Ableitung noch einmal ableiten, denn Du setzt ja nicht die Funktion h(x)=-1,5, sondern deren Ableitung.
Für das Newton-Verfahren brauchst Du dann noch zusätzlich die Ableitung dieser Ableitung.
x1=x0-h'(x0)/h''(x0).
Es empfiehlt sich, aus h'(x) zunächst e^(-x-0,5) auszuklammern, um so die zweite Ableitung wieder wie die erste mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel zu bilden.
Zur Kontrolle: h'(x)=-e^(-x-0,5)*(4x²+12x-11).
h''(x)=e^(-x-0,5)*(4x²+4x-23).
Da h'(x) gleich -1,5 gesetzt wird, für das Newton-Verfahren aber gleich Null gesetzt sein muß, mußt Du 1,5 addieren.
Du rechnest also mit x0=1,5:
1,5-{[-e^(-1,5-0,5)*(4*1,5²+12x-11)+1,5]/[e^(-1,5-0,5)*(4*1,5²+4*1,5-23)]},
um auf x1=0,8854480185 zu kommen.
Bei der nächsten Iteration setzt Du nun diesen Wert anstelle von x=1,5 in die Formel ein. x2 ist dann 1,083551702, x3=1,127174528, x4=1,129115531, x5=1,129119255, danach ändert sich nichts mehr. Die Lösung in der Aufgabe ist gerundet.
Diesen Wert in h(x) eingeben, um auf den dazugehörigen y-Wert von M zu kommen.
Herzliche Grüße,
Willy
Mein Ansatz: Steigung der Gerade bestimmen. Diese Steigung muss die Kurve haben.
Wie die kürzeste Verbindung von irgendeinem Punkt außerhalb des Radweges zum Radweg orthogonal zum Radweg liegt, so liegt die kürzeste Verbindung von irgendeinem Punkt außerhalb der Uferlinie zur Uferlinie orthogonal zur Tangente an die Uferlinie. (Vorausgesetzt, die Uferlinie ist nicht zu stark "konkav" - eingebuchtet - in Richtung dieses Punktes, was hier aber der Fall ist, weil die Uferlinie zum Radweg hin "konvex" - ausgebuchtet - ist.)
Die gesuchte Verbindungsstrecke muss also orthogonal sowohl zum Radweg als auch zur Uferlinie sein. Eine Orthogonale zu einer Orthogonalen ist eine Parallele.
Noch eine Frage dazu. Wie kommt man auf diesen Ansatz?