Wie lange würde ein Brief brauchen, um die andere Erdseite zu erreichen? Die Dichte der Erde sei homogen, der Luftwiderstand werde vernachlässigt.?
Könnt ihr mir bei der Beantwortung dieser Frage helfen, ich habe absolut keine. Ansatz muss ich eine dgl aufstellen?
5 Antworten
Betrachten wir die Erde als Punktmasse und wenden die Formel für die Arbeit im Gravitationsfeld an
Gravitationsgesetz F=a*me*m/r^2
a=6,67*10^(-11) m^2/(kg*s^2) Gravitationskonstante
me=5,97*10^24 kg Masse der Erde
r ist der Abstand zwischen den beiden Massen me und m
Daraus ergibt sich die Arbeit im Gravitationsfeld
W=Integral F*dr=a*me*m *Integral(1/r^2*dr) ergibt
W=a*me*m*(1/r1-1/r2)
Energieerhaltungssatz
Ekin=W
1/2*m*v^2=a*me*m*(1/r1-1/r2) mit r2=0 und r1=re=6,37*10^6 m Erdradius
v=Wurzel(6,67*10^-11*2*5,97*10^24*1/6,37*10^6)=11181,38 m/s=11,18 km/s
Wenn der Brief auf der anderen Seite ankommt ,dann muß V=0 sein.
Prüfe auf Rechen - u. Tippfehler.
Das lässt sich einfach mit dem Integralsatz von Gauß beweisen: Der Fluss der Feldlinien phi(G) geht radial nach außen uns beträgt phi = integral(g(r) dA), wobei g(r) die Feldstärke im Abstand r ist, A ist eine geschlossene Fläche. Nimmt man als A genau die Erdoberfläche, dann hat man A = 4 * pi * R^2, und g(R) ist dann das normale g, also hat man phi = 4 * pi * R^2 * g und wegen g = G * mE / R^2 ist dann
phi = 4 * pi * G * mE.
Dies gilt auch im Inneren der Erde, also
4 * pi * G * m(innen) = integral (g(r) dA) im Inneren mit r < R also
4 * pi * G * m(innen) = 4 * pi * r^2 * g(r).
Wegen der Kugel ist m(innen) = Dichte * 4/3 * pi * r^3 a, also
4 * pi * G * Dichte * 4/3 * pi * r^3 = 4 * pi * r^2 * g(r) und nach umstellen
g(r) = 4/3 * G * Dichte * r.
Man sieht, dass g(r) linear mit r zunimmt.
(Hoffe, hab mich auf die Schnelle nicht verschrieben)
Bitte. In meiner Antwort hab ich das ja benutzt, Die Kraft ist wegen des linearen r ja proportional zur Auslenkung, und dies führt automatisch zu einer harmonischen Schwingung mit der Amplitude des Erddurchmessers. Jede Sinus bzw Kosinusschwingung kann man aber bekanntlich auch in eine Kreisbewegung übersetzen, und in der Tat hat eine Erdumdrehung in Eesbodenhöhe ohne Luftwiderstand exakt die gleiche Frequenz und Umlaufdauer
Eine solche Umkreisung erfüllt nämlich die Kreisbedingung , du hast also omega² • R = g, also omega = √(g/R), also genau die gleiche Kreisfrequenz wie in der Lösung der Differentialgleichung in meiner Antwort.
Hab oben in der Antwort ein π vergessen, also g(r) = 4/3 • π • Dichte • r, also g(r) = 4/3 • π • M / V • r g(r) = 4/3 • π • M • r / (4/3 • π • R³) g(r) = G • M / R³ • r
Vielen Dank!
Ich mach das hier nur als Hobby und weil mir die Schüler leid tun.
Ich selber, m, 60 Jahre alt,Titel Dipl. Ing. (FH) , brauche das nicht.
Ich rechne auch hier,damit ich nicht "einroste".
Habe so so 30 Jahren Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert.
Du weißt ja,daß es Privatschulen gibt und die kosten ab 20000 Euro plus x an Schulgebühren pro Jahr.
Amerikanische Privatschulen können schon mal 50000 Euro pro Jahr kosten.
Beispiel: ich sprach mal mit einer Frau.
Frau:"Oohh mein Sohn,der hat ja auf einen normalen Gymnasium nur 3.en und 4.ren geschrieben. Dre geht nun auf einer Privatschule und dort schreibt er nur noch 1.sen und 2.en!!"
Wow,Wow,Wow, mit einen Kapitalaufwand von 30000 Euro pro Jahr kann man aus einen 4.rer -Schüler - Gymnasium- einen "Superstar" machen.
Hier an meinen Wohnort ist eine Privatschule-nur eine billige-wo die Schüler,wenn sie schwächeln Spezielkurse belegen können.
So ein Kurs kostet dann schon mal am Wochenende mal 300 Euro + x zusätzlich.
Mit genug Geld kann man sich eine ganze Mannschaft kaufen,die dann die Aufgaben vorrechnen.
Der Rest ist dann nur noch Übung.
Meine Spezialität ist die herleitung des Fadenpendels,"harmonische Schwingung",wird im LK Physik am Gymnasium verlangt.
Die ganze Herleitung mit Erklärungen habe ich mal an eine Gruppe Schülerrinnen geliefert geliefert.
In der Physikstunde, 1 Woche später,haben die dann tierisch aufgetrumpft und der Pauker mußte andauernd 2.en und 1.sen vergeben .
Die Gruppe hatte allerdings nicht mehr Ahnung,als die anderen Schüler.
Sie haben halt nur meine ganze Ausarbeitung - die sich zum Selbststudium eignet-studiert und dann vorgetragen.
So entstehen gute Noten!!!
Aus diesen Grund helfe ich hier dann ein paar Schüler,wo die Eltern sich eine optimale Unterstüzung - Nachhilfe,Privatschule-nicht leisten können.
Die Gravitationsfeldstärke nimmt linear bis zum Erdmittelpunkt ab, homogene Dichte vorausgesetzt , damit ist
a = - g • r/R, wobei r der momentane Abstand zum Erdmittelpunkt ist und R der Erdradius . Dies IST eine Differentialgleichung , die Lösung ist eine harmonische Schwingung mit
r(t) = R • cos(√(g/R) • t)
Durch Bestimmung von v(t) und a(t) durch Ableiten lassen sich deine Fragen beantworten .
Der Gegenstand braucht übrigens 42min und die Geschwindigkeit am Erdmittelpunkt wäre 7905 m/s, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Die Ableitung von r(t) liefert ja v(t), also
v(t) = - wurzel(g * R) * sin(wurzel(g / R) * t)
Der größte Betrag der Geschwindigkeit (ist ja minus) ist sicherlich am Erdmittelpunkt, und dies ist, wenn sin = -1 ist (der unterste Wert des Sinus), die Maximalgeschwindigkeit (vom Betrag her) ist dann
v = - wurzel(g * R) = - 7905 m/s
Fehlt beim ableiten nicht noch das R am anfang der Gleichung?
Ja klar, r(t) wechselt von +R zu -R und zurück, Erdradius oben und Erdradius unten halt. Der Nullpunkt liegt ja im Erdmittelpunkt.
F(r)=m*g*r/R;
a=F/m=g*r/R;
x=1/2*a*t²;
t=sqrt(2x/a); x=Der Erdradius. Damit erhälst du die zeit bis zum Erdmittelpunkt.
verdoppeln, um auf die Gesamtzeit zu kommen...
Die Formel x = 1/2 • a • t² gilt nur bei konstantem a, dies ist aber hier nicht der Fall, wie du ja am Anfang selbst geschrieben hast, denn a ist eine Funktion von r
Erspar die die Rechnerei.
Es sind etwa 42 Minuten.
Es sind sogar immer 42 Minuten, egal wo der Tunnel langgeht.
Das "etwa" kommt daher, daß die Dichteverteilung innerhalb der Erde nicht genau bekannt ist.
Die Erde hat einen radius von etwa 6371 km. Du musst berechnen wie lange der Brief bis zum Ermittelpunkt fliegt. Dabei gilt die S = 0.5x G x t2.
Vom Erdmittelpunkt bis zur oberfläche braucht der Brief genau die selte Zeit.
naja, das g ist aber nicht konstant. Ganz so billig geht es nicht ;-)
Homogen heißt nicht, dass g konstant ist. Homogen bedeutet lediglich , dass g linear bis zum Erdmittelpunkt abnimmt.
Die Erde ist aber keine Punktmasse , zumindest nicht, wenn es um einen Körper geht , der durch die Erde fallen soll. Im Inneren gilt nämlich nicht a = g • R² / r², also ein reziprok quadratisches Gesetz, sondern a = g • r/R, also ein zum Mittelpunkt linear abnehmendes Gesetz.