Wie kann ich die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform anhand mehrerer gegebener Punkte auf dem Graphen der Funktion aufstellen?
Hier eine Beispiel Aufgabe:
Der Graph einer quadratischen Funktion geht durch die Punkte P(0|5) , Q(2|3) und R(5|10). Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform.
2 Antworten
mit Q
3 = a*2² + b*2 + c
3 = 4a + 2b + c
mit P
5 = a*0² + b*0 + c
5 = 0 + 0 + c
5 = c
mit R
10 = 25a + 5b + 5 ..... (1)
c bei Q einsetzen
3 = 4a + 2b + 5 ..... (2)
.
Jetzt (eine von vier Möglichkeiten ) Glg (2) mal -2.5
-7.5 = -10a - 5b - 12.5
zu (1) addieren
2.5 = 15a + 0 - 7.5
2.5+7.5 = 15a
10/15 = a
.
in (2)
3 = 40/15 + 2b + 5
-2 - 40/15 = 2b
-70/15 = 2b
-70/30 = -7/3 = b
.
f(x) = 2/3 * x² - 7/3 * x + 5
------------
Nun in SP - Form überführen
2/3 * [ x² - 21/6 + 15/2 ]
2/3 * [ (x - 21/12)² - (21/12)² + 15/2 ].......................usw
PS : 10/15 und 21/12 sollte man noch kürzen
Allgemeine Scheitelpunktform:
Du hast 3 Punkte gegeben, die kannst Du der Reihe nach einsetzen und hast danach 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten. Das Gleichungssystem musst Du lösen.
Aber wo genau setze ich jetzt was ein?
Deine Punkte haben haben eine x- und eine y-Koordinate.
Diese setzt du in das x und y (=f(x)) der Scheitelpunktform ein.
Alles andere ergibt keinen Sinn.
Aber wo genau setze ich jetzt was ein?
Ich verstehe das echt nicht. Da sind drei Punkte gegeben. Die drei Punkte sollen auf dem Graphen liegen also müssen alle drei Punkte die Funktionsgleichung erfüllen. Und ein Punkt P ist immer als P(x | y ) bzw. P( x | f(x)) angegeben. Was also musst Du einsetzen: Den x-Wert des Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung und den Term dann gleich dem y-Wert des jeweiligen Punktes setzen.
P(0|5) heißt P(x=0 | y=5): Daher ergibt sich als erste Gleichung:
a·(0 - xs)² + ys = 5 oder kürzer
a·xs² + ys = 5
Mit den anderen Punkten verfährst Du genauso.
Ich verstehe nicht wie genau ich xs, ys und a mithilfe der Gleichungen ausrechne.
Ich hätte jetzt gedacht dass ich den Scheitelpunkt brauche. Wenn ich weiß was der Scheitelpunkt ist kann ich ja den Parameter a ausrechnen. Aber wo genau setze ich jetzt was ein?