Umformung von der Scheitelpunktform in die Nullstellenform?
Hallo, ich hatte schonmal danach gefragt jedoch keine richtige Antwort dazu erhalten. Die ursprüngliche Aufgabe war die Polynomform der quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform umzuwandeln. Anschließend soll ich die Scheitelpunktform in die Nullstellenform umwandeln. Meine Aufzeichnungen befinden sich im Anhang. Ich habe die erste Umwandlung bereits geschafft. An den der es schafft danke! MfG Leon
1 Antwort
Anschließend soll ich die Scheitelpunktform in die Nullstellenform umwandeln.
Das steht so nicht in der Aufgabe. In der Aufgabe stehts, du sollst die Polynomform sowohl in die Scheitelpunktform als auch in die Nullstellenform umwandeln.
Bei der Umformung der Polynomform in die Nullstellenform wird der Ansatz gewählt, dieNullstelllenform auszumultiplizieren und über einen Koeffizientenvergleich b3 und c3 rauszukriegn, was aber nicht klkappet.
Andersum klappt es aber, mit der Polynomform anzufangen, dort die Nullstellen zu suchen und dann über einen Koeffizientenvergleich b3 und c3 zu ermitteln.
f(x) = a1 * x^2 + b1 * x + c1
Suchen der Nullstellen:
a1 * x^2 + b1 * x + c1 = 0
x^2 + b1/a1 * x + c1/a1 = 0
p = b1/a1; q = c1/a1
pq-Formel:
x1,2 = -b1/2a1 ±√ (b1/2a1)^2 - c1/a1
Nun gilt:
x1 = b3
x2 = c3
und damit:
b3 = -b1/2a1 + √ (b1/2a1)^2 - c1/a1
c3 = -b1/2a1 - √ (b1/2a1)^2 - c1/a1
Ich soll ja die pq-Formel herleiten
Das hast du aber verschwiegen.
und wenn ich sie herleiten soll kann ich sie ja nicht verwenden.
Das klingt logisch.
Eigentlich @Maknem
Zum Beweis der pq-Formel:
Die Form ax^2 + bx + c = 0 kann man durch Division durch a in die Normalform
x^2 + px + q = 0
umformen. Da hilft "quadratische Ergänzung":
Die zweite binomische Formel ist
(x - d)^2 = x^2 - 2dx + d^2
Hier drängt sich p = -2d auf, um die binomische Formel anwenden zu können. Also d = -p/2. (Jetzt ahnt man schon, was es werden soll 😉.)
Jetzt haben wir
(x + p/2)^2 = x^2 + px + (p/2)^2
Nun hätten wir aber gern q statt (p/2)^2. Da wir p und q vorgegeben haben, müssen wir uns irgendwie anders behelfen:
(x + p/2)^2 = x^2 + px + q + (p/2)^2 - q
Wir suchen die Lösungen von x^2 + px + q = 0. Das sind die Lösungen der Gleichung
(x + p/2)^2 = (p/2)^2 - q
(x + p/2)^2 = p^2/4 - q
|x + p/2| = Wurzel(p^2/4 - q)
x + p/2 = +- Wurzel(p^2/4 - q)
x = -p/2 +- Wurzel(p^2/4 - q)
Mit p = b/a und q = c/a erhält man daraus die abc-Formel (Mitternachtsformel). Ich persönlich mag diese Fornel nicht, denn wenn man sowieso durch a teilen muss, kann man das gleich am Anfang tun, ist das a los und braucht keine abc-Formel mehr.
Hallo, das stimmt im Prinzip, passt aber nicht zur Aufgabenstellung. Ich soll ja die pq-Formel herleiten und wenn ich sie herleiten soll kann ich sie ja nicht verwenden. Ein Tipp meines Mathelehrers war diesbezüglich die Scheitelpunktform nach x umzustellen......