Wie kann ich das Thema "Extremwertaufgaben" endlich verstehen?
Guten Tag,
ich bin im Leistungskurs Mathematik und bald (zwar erst am 20.11., aber dennoch) meine zweite Klausur.
Ich verstehe so ziemlich alles in Mathe, aber das Thema bereitet mir - weiß Gott warum - extreme Schwierigkeiten. Das Schema kenne ich:
a) Hauptbedingung aufstellen => muss maximal werden
b) Nebenbedingung aufstellen und ggf. nach einer Variablen umformen
c) NB in HB einsetzen und vereinfachen => Zielfunktion
d) Zielfunktion (nur noch von einer Variablen abhängig) ableiten
e) Extrema bestimmen, durch VZW oder zweite Ableitung schauen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt
f) Den erhaltenen Wert in die Nebenbedingung einsetzen und den zweiten Wert bestimmen
g) Die Extremstelle in die Zielfunktion einsetzen
So, das ist soweit logisch. Aber ich habe oft schon bei den einfachsten Sachen Probleme mit der Anwendung. Ich übe es schon die Ferien durch, habe im Buch gerechnet - gebracht hat das nichts. Meine Mathelehrerin hat mir das sehr oft erklärt und viele, viele andere Leute auch! Denkt ihr, das hat was gebracht? Pustekuchen!
Habt ihr Tipps, wie ich diese Aufgaben lösen kann? Es kommt definitiv in der Klausur dran...
Danke im Voraus für eure Hilfe.
LG ShD
6 Antworten
Wo genau kommst du denn nicht klar? Beim Aufstellen der Haupt- und Nebenbedingung - also dein a) und b) - oder beim d) Ableiten? (Ich nehme mal an, Gleichungen umformen und Werte einsetzen klappt.)
Ich habe bis jetzt noch keinen Fehler gefunden. Warum meinst du dass das nicht sein kann?
Warum kann das nicht sein? Die Rechnung ist korrekt. Du musst nur noch entscheiden, welcher x-Wert von beiden es ist, z.B. in dem du beide Werte in die 2. Ableitung einsetzt und dir das VZ anschaust.
Dann nimm doch 12-Wurzel (39)=5,755. Quadratische Gleichungen haben doch meist zwei Lösungen. Die andere paßt nicht, weil 2x>30.
Herzliche Grüße,
Willy
Ach so, ich dachte weil so etwas Krummes unter der Wurzel steht...
Danke euch für die Richtugstellung
Vielleicht, in dem Du Dir solche oder ähnliche Videos anschaust.
www.youtube.com/watch?v=b7TBoX1x1t8
Gruß Matti
Wenn Dir der Typ zu kandiedelt quatscht, gibts hier noch jemanden mit "normaler" Sprache.
Du hast die Vorgehensweise Super beschrieben! (Hauptbedingung, heißt bei mir Zielfunktion, soll u.U. auch mal minimal werden. Das prüft man dann, wenn man das vermeintliche Extremum hat.) Probleme kann es bei der Nebenbedingung geben (wenn da z.B. Strahlensätze benutzt werden, die man vorher gar nicht durchgenommen hat. Oft hilft auch die Formelsammlung weiter). Außerdem sollte man sich beim Einsetzen der Variablen für die in der Nebenbedingung entscheiden, wo das Auflösen dahin einfacher geht. In einem LK sollte man dann auf jeden Fall den Definitionsbereich angeben und ggf. auf Randextrema untersuchen (die findet man ja nicht über waagerechte Tangente)
Ich finde, solche Aufgaben sind super, weil sie zeigen, wozu Extremstellenbestimmung benutzt werden kann (nicht so wie diese blödsinnigen Aufgaben aus den Kultusministerien, wo z. B. das Wachstum einer Pflanze über einene Teil einer ganzrationelen Funktion gegeben ist.)
Schreib vielleicht nochmal ein Beispiel für eine Aufgabe auf, bei der du Probleme hast.
Hast du auch eine Aufgabensammlung mit durchgerechneten Lösungen,damit man üben kann ?
Allgemein betrachtet sind Extremwertaufgaben auch für Computer extrem schwer lösbar (lange). Man behilft sich da dann Evolutorischer Lösungsmöglichkeiten. Im Matheunterricht werden aber normal einfache Fälle euch vorgesetzt, die man ohne Computer einfach mit z.B. 2 Variablen lösen kann. Das geht dann meist nach "Schema F". Also einfach vorhandene Aufgaben öfter machen, dann kommst auch ganz schnell auf die Lösung von neuen Aufgaben. Kannst du dir unter den Gleicungen nicht bildlisch was vorstellen ohne es zu zeichnen, dann mach halt eine hilfsskizze für dich auf Papier.
Das geht eben nicht nach Schema F! Normalerweise kriege ich auch Aufgaben hin, die nicht nach Schema F gehen und bei denen etwas Hirnschmalz gefragt ist. Meine Freundin im GK kommt immer zu mir, wenn sie in Mathe Probleme hat und da war neulich eine echt fiese Aufgabe (nicht Extremwerte). Die ging mir auch locker-flockig von der Hand. Das ist das einzige Thema, mit dem ich Probleme habe - selbst Folgen habe ich dann irgendwann kapiert!
Hilfsskizzen sind meist schon gegeben, ich bin allerdings oft zu dämlich, daraus die richtige Nebenbedingung abzuleiten (Hauptbedingung klappt meist noch irgendwie). Einfacher fällt es mir, wenn es um irgendwas mit einer Funktion geht, weil dann ja eine Funktion bereits vorhanden ist.
Ich habe generell mit dem Aufgabentyp Probleme. Ich weiß nicht, ob ich dahingehend zu sehr "abblocke", weil es für mich sehr ungewohnt ist, in Mathe etwas nicht zu verstehen. Deshalb ärgert mich das ja so.
Ich habe schon die Aufgaben im Buch durchgerechnet, nur einen winzigen Prozentsatz habe ich selbst hingekriegt und einen noch kleineren Prozentsatz hatte ich richtig... :(
schreib halt mal konkret eine hier her, die du nicht kannst --- vielleich komm ich dann drauf was du genau nicht verstehst
Das Problem ist,dass du die Theorie kennst,aber keine Übung hast,wie man solche Aufgaben angeht.
TIPP : Leg dir eine Aufgabensammlung an ,mit durchgerechneten Aufgaben.
Ein Aufgabentyp ist die Berechnung eines Rechtecks,dass eine maximale Fläche unter der Kurve f(x) haben soll.
beispeil : f(x)=-0,2 *x^2 +4 Fläche des Rechtecks Ar= f(x) * x
eingesetzt Ar= - 0,2 *x^2 + 4) *x ergint f(x) =-0,2 * x^3 + 4 *x
abgeleitet A´r= -,06 *x^2 + 4 Nullstellen bei x1= - 2,582 und x2= 2,582
eingesetzt in f(x) ergibt f(x)= -0,2 * 2,582^^2 + 4 = 2,666...
Also Ar = 2,666 * 2 * 2,582= 13,767 FE
HINWEIS : Ar=f(x) * x funktioniert nur ,wenn f(x) symetrisch zur y-Achse liegt und der maximalwert von y auch auf der y-Achse liegt.
TIPP : Versuch mal die selbe Aufgabe zu lösen wenn f(x)= -0,2 *(x-3)^2 + 4
Hier ist die Funktion nach rechts verschoben und y max liegt nicht auf der Y-Achse.
Die Formel Ar= f(x) * x funktioniert auch bei anderen Funktionen.probier´s aus !
Nun kannst du wenigstens diesen Typ Aufgabe rechnen.
Hi,
na ja, wenn du mir das schon komplett vorgibst...den "Tipp" hättest du mir nicht mal geben brauchen. Also ich bin jedenfalls noch in der Lage dazu, zu erkennen, dass die Parabel in der Scheitelunktform vorliegt :D
Also ist die HB: A(x,y) = x*y
die NB hast du mir ja netterweise angegeben: f(x)= -0,2 *(x-3)^2 + 4
Einsetzen:
A(x) = x*(-0,2 *(x-3)^2 + 4)
= x*(-0,2x² +1,2x -1,8+4)
= x*(-0,2x² +1,2x +2,2)
= -0,2x³ +1,2x² +2,2x
Ableiten:
A'(x) = -0,6x² +2,4x +2,2
Mit Null gleichsetzen:
-0,6x² +2,4x +2,2 = 0
x² -0,4x - 11/3 = 0
PQ-Formel:
x1,2 = 0,2 +- 1,9
x1 = -1,7; x2 = 2,1
Zweite Ableitung bilden:
A''(x) = -1,2x +2,4
Ich rechne lieber nicht weiter. Ich hab den Graphen in den Funktionsplotter eingegeben. Meine Rechnung ist falsch. Wir belassen es dabei, dass ich die Klausur nicht schaffen werde. Okay?
Sie dir die Zeile über "PQ-Formel" an! Der Fehler hat nichts mit Extremwertaufgaben zu tun und wäre dir in anderem Zusammenhang auch nicht passiert! Du entwickelst eine Extremwertaufgabenphobie ;) Bleib locker!
Dadurch, dass der Scheitelpunkt verschoben ist, wird die Zielfunktion komplizierter! Mach dir mal ne Skizze!
Also.dass ist die falsche Einstellung.
Stell dir vor du hast 20 oder mehr von solchen Aufgaben gerechnet,dann wird garantiert in der Klausur einer dieser Aufgaben vorkommen.
Du erinnerst dich dann an diese Aufgabe und der Rest ist für dich dann nur eine Wiederholung.
MERKE : Übung macht den Meister !! Dies bedeutet:Üben ,üben und nochmals üben,bis zur Vergasung.
Mein eigener Fall :Man hat mich in der Grundschule als lernbehindert eingestuft. Ich habe dann aber an der Fachhochschule Dortmund Maschinenbau studiert.Wenn so einer wie ich solche Aufgaben rechnen kann,dann kannst du das auch !!
TIPP : Aufgaben,die du nicht lösen kannst,lass diese dir von jemanden vorrechnen,der diese Aufgaben schon gerechnet hat.
Das spart Zeit und kostet nur 1 bis 2 Euro pro Aufgabe.Solch ein Spezialist rechnet eine Aufgabe dir in 10 Minuten vor.
Es gibt verschieden Typen von Extremwertaufgaben.Diese sind Extremwertaufagben mit Nebenbedingungen.
Beispiel A=a *b Fläche einen Rechtecks
U= 2 *a +2*,b meistens ist U gegeben
man hat also 2 Unbekannte a u. b und 2 Gleichungen.
Also ist die Aufgabe lösbar.man erhält aus den 2 Gleichungen eine Gleichung mit einer unabhängigen Variable.
Die Ermittlung des Maximums oder Minimums ist dann nur noch eine normale Kurvendiskussion.
PROBLEM : Man muss die dazugehörigen Nebenbedingungen kennen.Kennt man diese nicht,dann ist die Aufgabe nicht lösbar und man braucht Hilfe ,von jemanden,der diese Aufgabe schon gerechnet hat.
Vor allem bei a und b...ich gebe dir mal eine Beispielaufgabe aus meinem Buch:
http://www.directupload.net/file/d/4156/lwl3hq7a_jpg.htm
So. ich habe das so gemacht:
V(a,b,c) = a*b*c
a = x; b = 42-2x; c = 30-2x
Einsetzen:
V(x) = x*(30-2x)*(42-2x)
= 4x³ -144x² +1260x
Ableiten:
V'(x) = 12x² -288x +1260
Mit Null gleichsetzen:
12x² -288x +1260 = 0
x² -24x +105 = 0
pq-Formel ergibt:
x1,2 = 12 +- Wurzel (39)...
Das kann aber nicht sein! Schau, ich kriege das nicht hin :((