Extremwertaufgaben kürzeste Diagonale?
Also gegeben ist ein Rechteck mit dem Umfang U=20cm und gesucht: wie gestaltet man das Rechteck um die kleinste Diagonale heraus zu kriegen.
Was ich hab ist:
Hauptbedingung: a^2 + b^2 = d^2 (d ist die Diagonale)
nebenbedingung: U= 20 cm
2a+2b = 20cm
a = 10-b
zielfunktion: d^2 = (10 - b)^2 + b^2
d = WURZEL100+2b^2
.. so weiter komme ich nicht.. muss ich einen Tiefpunkt jetzt berechnen? Wenn ja wie berechne ich die Ableitung aus einer Wurzel ?
Danke schon mal im Voraus
3 Antworten
1) d²=a²+b²
2) U=2*a+2*b ergibt a=(U-2*b)/2 in 1)
d²(b)=(U-2*b)²/4+b² binomische Formel (x-b)²=x²-2*b*x+b²
(U-2*b)²=U²-2*2*b*U+(-2*b)²=U²-4*U*b+4*b²
d²(b)=(U²-4*U*b+4*b²)/4+b²=U²/4-U*b+b²+b²
d²(b)=2*b²-U*b+U²/4
Wir haben hier nun eine Funktion mit der unabhängigen Variable b
nun eine Kurvendiskussion durchführen,um die Extrema zu bestimmen.
abgeleitet
d²´(b)=0=4*b-U Nullstelle bei b=U/4=20 cm/4=5 cm
nun prüfen,ob eine Maximum oder Minimum vorliegt
noch mal abgeleitet
d²´´(b)=4>0 also liegt ein Minimum vor
Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Bedingung Minimmum f´(x)=0 und f´´(x)>0
Hinweis:Eine Wurzel braucht man nicht ziehen,weil d oder auch d² minimal sein müssen
Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler.
Hinweis: d² erzeugt man,indem man die Taste oben unter ESC nur kurz drückt.
d^2 erzeugt man,wenn man die Taste unter der ESC lang drückt
d = WURZEL100+2b^2
Falsch.
(10 - b)² ist NICHT 100 + b²
Tipp zum Rest:
d hat dort das Minimum, wo auch d² das Minimum hat.
was Ist es denn?