Mathe Extremwertaufgaben, komme nicht weiter?
Ich versuche nun schon seit einiger Zeti diese Extremwertaufgabe zu lösen und komme zu keiner eindeutigen Zielfunktion. Das Problem ist, das die Funktion auf die ich komme ihr Höhepunkt außerhalb des Bereiches der scheibe hat. Ich hätte aber gerne eine eindeutige Zielfunktion von der ich die Ableitung bilden und nullstelle bestimmen kann.
Danke schonmal und einen schönen Abend noch
2 Antworten
Hallo,
f(x)=4-x², denn bei (0|4) liegt der Scheitelpunkt und bei x=2 eine Nullstelle.
Rechteckfläche ist Breite mal Höhe, also (4-x)*(6-(4-x²))=(4-x)*(2+x²).
Das ist Deine Zielfunktion.
Ableiten, auf Null setzen und die beiden Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen, damit Du weißt, welche das Maximum und welche das Minimum darstellt.
Herzliche Grüße,
Willy
Ist richtig. Dann ist die maximale Fläche bei x=2, also a Rand des Intervalls. Das kommt vor und ist kein Beinbruch.
Ok, nur hatte ich jetzt einfach angst das mit Punkte oder so flöten gegangen wären wenn ich nicht ein Maximum mit ableitung bestimmen kann
Und müssten da nicht 60 statt 6 stehen, da ja eins in cm und das andere n dm ist?
Dann bekommst Du aber auch eine andere Funktionsgleichung für die Parabel:
f(x)=40-10x².
Zielfunktion dann entsprechend:
A(x)=(4-x)*(20+10x²).
Sind jetzt andere Werte, aber dennoch liegt das Minimum im erlaubten Bereich, das Maximum ist größer als x=2.
Folglich bekommst Du auch in diesem Fall die größte Fläche, wenn Du x=2 setzt.
Du musst eben ein Maximum der Zielfunktion im zulässigen Bereich suchen, also das Maximum der auf das zulässige Intervall eingeschränkten Funktion.
So wie ich das sehe, ist die Funktion, die du ableiten willst, ein kubisches Polynom, also vom Grad 3, oder? Dann könnte die Ableitung mehr als eine Nullstelle haben.
Ja, nur wenn ich die Funktion nur in diesem INtervall betrachte dann kann ich nicht das eigentliche Maximu der funkion nehmen und dann bringt mir das Ableiten auch nix.
Dann hast Du etwas falsch gemacht.
Ich habe innerhalb des erlaubten Bereiches zwei Nullstellen der ersten Ableitung gefunden und mehr kann es nicht geben, da die Ableitung eine Funktion 2. Grades ist.
Es ergeben als optimale x doch nur Werte zwischen 0 und 2 Sinn. (x > 2 kann nicht optimal sein, da man das Rechteck dann noch vergrößern kann.)
Plotte mal die Zielfunktion auf dem Intervall [0,2] und schau, wo das Maximum ist.
Komischerweise komme ich beim Nachrechnen darauf, dass das optimale x bei etwa 2,4 liegt, was aber keinen Sinn ergibt, da das rausgeschnittene Rechteck schon mit x = 2,3 deutlich größer wäre.
Da hast Du recht. Ich hatte vergessen, daß x nur bis 2 gehen darf (hatte irgendwie 3 im Kopf).
Das ist aber kein Problem.
Das Minimum liegt bei etwa 0,18 (ein wenig darunter).
Von da an steigt der Wert bist zum Maximum bei etwa 2,49 stetig an.
Das bedeutet, daß der höchste Wert im erlaubten Bereich bei x=2 liegen muß, also am Rand des Intervalls.
Danke, auf die selbe funktion bis ich auch gekommen
Jedoch geht die funktion 4-x^2 doch an der stelle 2,387 wo das Maximum ist unter die x achse, also aus dem bereich der Scheibe raus, oder hab ich den totalen Denkfehler?