Wie hat man diesen Bruch bitte umgewandelt?

Ich verstehe nicht, welche Rechnung, Methode oder Tricks angewendet ist, das es zu diesem Ergebnis kommt :o

Gibt es ein Video oder vielleicht eine Erklärung eurerseits :)

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Danke!

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Man nutzt dafür die Regel für die Division:

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$

$\frac{\frac{x}{2\cdot\sqrt{1+x}}}{1+x}=\frac{\frac{x}{2\cdot\sqrt{1+x}}}{\frac{1+x}{1}}=\frac{x}{2\cdot\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{1+x}$

Dann nutzt man noch die Beziehung von Wurzeln zu Potenzen, wie auch ein paar Potenz-Gesetze:

$\sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}}$

$z^a\cdot z^b=z^{a+b}$

$\left(x^y\right)^z=x^{y\cdot z}$

$\frac{x}{2\cdot\sqrt{1+x}}\cdot\frac{1}{1+x}=\frac{x}{2\cdot\sqrt{1+x}\cdot\left(1+x\right)}=\frac{x}{2\cdot\left(1+x\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(1+x\right)^1}=\frac{x}{2\cdot\left(1+x\right)^{\frac{1}{2}+1}}=\frac{x}{2\cdot\left(1+x\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x}{2\cdot\left(1+x\right)^{3\cdot\frac{1}{2}}}=\frac{x}{2\cdot\left(\left(1+x\right)^{\frac{1}{2}}\right)^3}=\frac{x}{2\cdot\left(\sqrt{1+x}\right)^3}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[Wechselfreund]

Man dividiert einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Im Nenner steht dann 2 Wurzel (x+1) mal (x+1)

Statt wurzel würde ich ^1/2 schreiben.

2(x+1)^1/2 * (x+1)^1 = 2 (x+1)^(1/2+1) = 2(x+1)^3/2

Answer 3

[Rubezahl2000]

Den oberen Bruch umformen nach diesem Schema: $\frac{\frac{a}{b}}{c}\ =\ \frac{a}{b}\ \cdot\ \frac{1}{c}$

Dann ergibt sich:

$\frac{x}{2\cdot\sqrt{1+x}}\ \cdot\ \frac{1}{1+x}$

$=\ \frac{x}{2\cdot\sqrt{1+x}}\ \cdot\ \frac{1}{\left(\sqrt{1+x}\right)^2}$ $=\frac{x}{2\cdot\left(\sqrt{1+x}\right)^3}$

Comments

[Bastibreuer]

Wie und woher haben sie jetzt in der zweiten Zeile die 1+x in Wurzel und noch dazu quadriert :o

[Rubezahl2000]

@Bastibreuer

1+x wird umgeformt zu (√(1+x))². Das ist dasselbe, da Wurzel und quadrieren sich gegeneinander aufheben.
Dieser Schritt sieht zwar zunächst überflüssig aus, aber er ist notwendig, um diesen Nenner mit der Wurzel im anderen Nenner zusammenfasssen zu können.

[ProfFrink]

@Bastibreuer

Wenn man den aus dem Ausdruck (1+x) zuerst die Wurzel zieht und dann das Ergebnis quadriert, dann kommt als Ergebnis wieder (1+x) heraus. Man wendet eine Funktion auf das Argument (1+x) an und anschließend wieder die Umkehrfunktion, was das Argument (1+x) wieder reproduziert. Das erscheint Dir möglicherweise unsinnig. Der Grundgedanke dabei ist aber, dass der Term

Wurzel(1+x)

der ja schon im vorangegangen Term vorkommt auf den ersten Blick wiedererkannt wird. Der unerfahrene Leser "sieht" dann schneller dass

term * term^2 = term^3

ergibt. Das ist extra für Dich so aufgeschrieben worden.