Wie bestimmt man hier die Dimension des Bildes und des Kerns?

Wie geht man hier vor zur Bestimmung der Dimension des Bildes und des Kerns?

Answer 1

[aperfect10]

1. Bestimme die Abbildungsmatrix A.
2. Löse $Ax = 0$ um den Kern und seine Dimension zu bestimmen.
3. Benutze den Dimensionssatz um die Dimension des Bildes zu bestimmen.

Comments

[TheBoii566]

wie bestimmt man die Abbildungsmatrix?

[aperfect10]

@TheBoii566

Hier werden Vektoren aus dem R^4 in den R^1 abgebildet, also ist die Abbildungsmatrix eine 1 x 4-Matrix.

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren bezüglich der gewählten Basis (in diesem Fall der Standardbasis).

Also sieht die Abbildungsmatrix so aus: (1, 1, 1, 1)

[FataMorgana2010]

@aperfect10

Kann man das nicht auch ohne Abbildungsmatrix lösen?

[aperfect10]

@FataMorgana2010

Ja. Ich fand es jedoch hilfreich die etwas allgemeinere Vorgehensweise zu erläutern.

Answer 2

[FataMorgana2010]

Das Bild einer linearen Abbildung f: U -> V zwischen VR ist immer ein UVR des ZielVR. Welche Dimension kann das Bild also haben, wenn du dir hier das Ziel anschaust? Und welche von den beiden ist es, wenn du dir die Funktionswerte anschaust?

Und wenn du das jetzt weißt - dann kannst du den Dimensionssatz anwenden.