Wie berechne ich diesen Wert der Reihe?

Ich habe die gegebene Reihe zunächst vereinfacht und weitestgehend auf die Form der "Sinus Potenzreihe" gebracht.
Was mache ich aber mit den (-1/9)^k? Die bekomme ich nicht auf die Form (-1)^k...

[Aufgabe + Lösung, meine Vereinfachung]

Answer 1

[Rammstein53]

Der Zähler lässt sich so zusammenfassen

$\left(-\frac{pi}{3}\right)^{\left(2k+1\right)}$

Die Potenzen von -1 im Nenner können auch in den Zähler, das ändert nichts an den einzelnen Summanden

$\left(-\frac{pi}{3}\right)^{\left(2k+1\right)}\left(-1\right)^k\ \cdot\ \left(-1\right)$

Den Faktor -1 zieht man aus der Summe, somit bleibt

$-\sum_{k=0}^{\inf}\frac{1}{\left(2k+1\right)!}\ \cdot\ z^{\left(2k+1\right)}\cdot\ \left(-1\right)^k$

Diese Summe ergibt bekanntlich sin(z). Damit lautet das Ergebnis

$-\sin\left(-\frac{pi}{3}\right)\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}$

Comments

[Sheeeeesh2]

Danke für die Erklärung! Ich hätte den Ausdruck 3^(-2k-1) nicht ganz vereinfachen dürfen. Hatte gar nicht darauf geachtet, dass ich es mit dem Pi-Ausdruck zusammenziehen kann. :)