Wann bilden Vektoren ein Rechtssystem/Linkssystem?

Hallo zusammen, ich finde leider keine konkreten Aussagen dazu in meinem Skript.

Frage 1:
Stimmt es, dass wenn die Determinante einer Basis von Vektoren positiv ist, es sich um ein Rechtssystem handelt - und wenn die Determinante negativ ist, ein Linkssystem vorliegt?

Frage 2:
Habe gelesen, dass das auch über das Kreuzprodukt geht.
pos. Kreuzprodukt = Rechtssystem, neg. Kreuzprodukt = Linkssystem

Prüft man dass dann indem man v1xv2, v2xv3, v3xv1 macht und alle müssen dann pos./neg. sein oder reicht da schon ein einziges Kreuzprodukt aus zum Feststellen?

Answer 1

[kmkcl]

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rechtssystem_(Mathematik)

Erster Punkt: Ja

Zweiter Punkt: Nein... Das Kreuzprodukt konstruiert ein rechtssystem. Also v1 x v2 = v3'

v1,v2,v3' sind ein Rechtssystem. Wenn jetzt v3' in Richtung mit v3 übereinstimmt, ist v1,v2,v3 ein Rechtssystem, wenn entgegengesetzt ein Linkssystem. Ein "negativ" in dem Sinne gibt es ja nicht. Du kannst nicht davon ausgehen, dass bei jedem Rechtssystem alle Komponenten positiv sind.

Answer 2

[indiachinacook]

Ich nehme an, Du redest von dreidimensionalen Vektoren. In dem Fall hast Du drei Basisvektoren, a⃗, b⃗ und c⃗. Rechtshändigkeit kannst über die Determinante bestim­men, oder über das Spatprodukt. Beides setzt voraus, daß Du Deine Basisvektoren in einem Koordinatensystem gegeben hast.

• Du packst die Koordinaten Deiner drei Vektoren in eine Matrix, diese Matrix ver­mit­telt dann zwischen den Einheitsvektoren des Koordinatensystems und Deinen drei neuen Einheitsvektoren. Das Vorzeichen der Determinante dieser Matrix gibt an, ob die beiden Systeme dieselbe Händigkeit haben.
• Du konstruierst z.B. mit c⃗’ = a⃗×b⃗ einen neuen Vektor; per Konstruktion ist das Sy­stem aus a⃗,b⃗,c⃗’ rechtshändig. jetzt mußt Du nur noch überprüfen, ob c⃗ und c⃗’ in ungefähr dieselbe Richtung weisen; dazu berechnest Du das Skalarprodukt c⃗⋅c⃗’ und siehst, ob es größer oder kleiner Null ist.
• Für die letztere Operation gibt es auch eine spezielle Schreibweise, das Spat­pro­dukt: (a⃗,b⃗,c⃗) = (a⃗×b⃗)⋅c⃗ = a⃗⋅(b⃗×c⃗). Es ist offensichtlich ein Skalar, und gibt das Vo­lumen des von den drei Vektoren aufgespannten Körpers an, mit positivem Vor­zeichen falls rechtshändig (vgl. die ähnlich Interpretation von a⃗×b⃗ in zwei Di­men­sionen); natürlich kann man es auch über Determinanten ausdrücken.