Nullstellen berechnen mit Polynomdivision, pq-Formel?

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6 Antworten

Wenn du in einer Gleichung für Nullstellen nur x⁴ und x² vorfindest, substituierst du, d.h. du setzt z.B.         x² = z
Das bedeutet, dass du nach der Rechnung auch resubstituieren musst:
x =  ± √z              Das muss man im Auge behalten.

Los geht's erst mal mit der Substitution.
Die Polynomdivision kannst du in diesem Fall vergessen. Sie würde auch funktionieren, ist aber ungleich schwieriger, weil man zweimal dividieren müsste.                    

x⁴ - 20x² + 64 = 0   | x² = z
z² - 20z  + 64 = 0   | p,q-Formel           p = -20         q = 64

z₁,₂ = 10 ± 6
z₁   =  16
z₂   =   4                 | Resubstitution  x =  ± √z

x₁   =   4
x₂   = - 4
x₃   =   2
x₄   = - 2

Das sind 4 Lösungen. Wie schön! Meist fallen welche aus den reellen Zahlen heraus.

Du vermischst da einiges.

Nichts von dem, was du anführst, ist eine gemischtquadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen könntest.

Aus der Ursprungsgleichung kommst du aber ganz leicht auf eine, in dem du
bei x^4 - 20x^2 + 64 = 0 z.B. u=x² substituierst.

Dann folgt: u² - 20 u + 64 = 0
und hier kannst du u mit der pq-Formel lösen, und dann zurücksubstituieren.

Auch die Polinomdivision ist nicht korrekt:

(x^4 - 20x^2 + 64) : (x-2) = x³+2x²-16x+32

allerdings hast du hiermit auch nicht viel gewonnen, da du erst recht keine quadratische (sondern eine kubische) Gleichung hast!

Kurz: das Problem, das du beim Lösen der quadratischen Gelichung hattest, war, dass du keine quadratische Gleichung hattest!

Willibergi 17.08.2016, 19:51

Kurz: das Problem, das du beim Lösen der quadratischen Gelichung hattest, war, dass du keine quadratische Gleichung hattest!

Na zumindest eine biquadratische Gleichung war vorrätig. ^^

LG Willibergi

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y = x²

dann hast du y² - 20y + 64 = 0

Das löst du und dann hast du alles, nur halt noch für positive und negative x betrachten, aber das ganze ist doch symmetrisch.

Ailxxn 17.08.2016, 19:23

Ich muss das aber mit der pq-Formel machen :D

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AnglerAut 17.08.2016, 19:25
@Ailxxn

Dann benutze doch für y² - 20y + 64 = 0

die pq-Formel, wo ist das Problem ?

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henzy71 17.08.2016, 19:34
@Ailxxn

Du musst das überhaupt nicht mit der pq-Formel machen!!
Alle schreien sie lauthals nach der PQ-Formel weil sie nicht in der Lage sind zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 64 und deren Summe -20 ist...... Das ist wirklich armselig.

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Willy1729 17.08.2016, 19:39
@henzy71

Ich glaube, das liegt zum Teil auch an den Lehrern, die Schülern einen schematischen Umgang mit der Mathematik beibringen, nach dem Motto: Wenn eine Methode narrensicher funktioniert, wird sie so lange eingepaukt, bis sie sitzt.

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claushilbig 27.05.2017, 11:30
@henzy71

Meines Wissens ist der Satz von Vieta nicht fester Teil des Lehrplans - viele Schüler werden den in ihrer Schullaufbahn nie sehen!

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Ailxxn 17.08.2016, 19:37

Ich muss es mit der pq-Formel machen, weils im Unterricht gerade darum geht. Es ist das Thema! Danke AnglerAut!:)

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Du solltest substituieren:

x⁴ - 20x² + 64 = 0

u := x²

u² - 20u + 64 = 0

pq-Formel:

            -20             -20
u₁₋₂ = - —— ± √( ( ——)² -  64)
              2                2

u₁ = 4
u₂ = 16

Rücksubstitution:

x² = 4 ⇔ x = ±2

x² = 16 ⇔ x = ±4

x₁ = -4
x₂ = -2
x₃ = 2
x₄ = 4

IL = {-4; -2; 2; 4}

Und schon hast du die Nullstellen. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

henzy71 17.08.2016, 19:41

Ich wiederhole mich:
Alle schreien sie lauthals nach der PQ-Formel weil sie nicht in der Lage sind zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 64 und deren Summe -20 ist...... Das ist wirklich armselig.

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Willibergi 17.08.2016, 19:44
@henzy71

Wenn die pq-Formel gefordert ist, muss die pq-Formel angewendet werden! Punkt.

Eine Linearfaktorzerlegung ist bei dieser Aufgabenstellung falsch und gibt allenfalls einen Punkt für das Ergebnis.

Unter fast jede Antwort den gleichen Kommentar zu schreiben - das ist armselig!

Damit hast du leider jeden Respekt von mir verloren.

LG Willibergi

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Volens 17.08.2016, 19:46
@henzy71

@henzy71:

Hab doch ein Herz mit den FS. Wenn sie einmal das Glück haben, auf ein vollständiges, ganzzahliges Binom zu stoßen, kann sich das doch bei den nächsten Aufgaben in der Schule wieder ändern. Dann ist p,q wieder angesagt. Also sollten sie's besser draufhaben!

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Ailxxn 17.08.2016, 19:47

Normalerweise benutzen wir sowieso überwiegend den Taschenrechner. Wir brauchen das alles nur im Abitur für den Taschenrechner freien Teil.

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Substitution (google)

u²-20u+64=0 mit pq-Formel lösen

und aus den Lösungen ggfs die Wurzel ziehen.

henzy71 17.08.2016, 19:33

Alle schreien sie lauthals nach der PQ-Formel weil sie nicht in der Lage sind zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 64 und deren Summe -20 ist...... Das ist wirklich armselig.

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Ellejolka 17.08.2016, 19:40
@henzy71

henzy71; wie bist du denn drauf? nicht alle Schüler kennen den Satz von Vieta; außerdem hat der Fragesteller mehrfach betont, dass er die pq-Formel anwenden soll. Wieso sind wir denn armselig?

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Willibergi 17.08.2016, 19:49
@Ellejolka

Wenn er meint es besser zu wissen...

Er wird schon noch sehen, was armselig ist. ^^

LG Willibergi

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Ailxxn 17.08.2016, 19:35

Danke :)

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Ailxxn 17.08.2016, 19:46

Genau das dachte ich mir auch :D

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Dein Ansatz war falsch.

Du sollestest folgendes machen:

x^4 - 20x² + 64 = 0

das ist nichts anderes als:

(x² - 16)*(x² - 4) = 0

also entweder x² - 16 = 0 oder x² - 4 = 0

x² = 16 ---> x = 4 und x = -4

x² =4 ---> x = 2 und x = -2

Lösungsmenge: {-4, -2, 2, 4}

Gruß

Henzy

Wenn du noch Fragen hast, kommentier einfach.

Ailxxn 17.08.2016, 19:29

Unserer Lehrer hat uns das so beigebracht mit dem Ausprobieren.. deswegen bin ich mir gerade seehr unsicher :o Aber danke jetzt kenn ich wenigstens die Nullstellen 😂

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henzy71 17.08.2016, 19:31
@Ailxxn

Mit ausprobieren kommst du hier nicht weiter, wie du auch richtig gemerkt hast.

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Willy1729 17.08.2016, 19:37
@Ailxxn

Ausprobieren mußt Du nur, wenn Du eine Gleichung der Form ax³+bx²+cx+d oder ax^4+bx³+cx²+dx+e oder so etwas hast.

Hier aber liegt eine sogenannte biquadratische Gleichung vor, die durch Substitution u=x² auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt und die mit der pq-Formel oder anderen Verfahren gelöst werden kann.

Auch für Polynome dritten und vierten Grades gibt es Lösungsalgorithmen (Cardanische Formeln, mit denen Schüler aber in der Regel überfordert sind).

Wenn bei Funktionen dritten Grades das absolute Glied fehlt, kann ein x ausgeklammert werden. Auch in diesem Fall ist Ausprobieren nicht nötig.

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Ailxxn 17.08.2016, 19:35

Ja wir arbeiten aber gerade an der Polynomdivision und pq-Formel. Damit sollen wirs auch machen und nicht anders..

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henzy71 17.08.2016, 19:39
@Ailxxn

Die Polynomdivision hast du falsch gemacht!!!

(x^4 - 20x^2 + 64) • (x - 2) = 10x^3 + 32

Du musst nicht MAL (x-2) sondern wenn überhaupt GETEILT DURCH x-2, ABER

(10x^3 + 32) * ´(x -2)  = 10x^4 + 32x - 64.....

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Ailxxn 17.08.2016, 19:39

Vielen Dank! Habe die Aufgabe vom Lehrer glaube ich einfach nur nicht verstanden, habe etliche Aufgaben und ich dachte ich muss alles mit der Polynomdivision machen.

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Ailxxn 17.08.2016, 19:44

bei dem "•" habe ich mich vertippt, habs geteilt :D

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henzy71 17.08.2016, 19:45
@Ailxxn

Schon klar, aber dennoch hast du falsch geteilt, wie meine Rückrechnung zeigt. Kannst ja mal die Antwort von gfntom lesen, der hat richtig geteilt.

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