Nullstellen berechnen mit Polynomdivision, pq-Formel?

6 Antworten

Wenn du in einer Gleichung für Nullstellen nur x⁴ und x² vorfindest, substituierst du, d.h. du setzt z.B.         x² = z
Das bedeutet, dass du nach der Rechnung auch resubstituieren musst:
x =  ± √z              Das muss man im Auge behalten.

Los geht's erst mal mit der Substitution.
Die Polynomdivision kannst du in diesem Fall vergessen. Sie würde auch funktionieren, ist aber ungleich schwieriger, weil man zweimal dividieren müsste.                    

x⁴ - 20x² + 64 = 0   | x² = z
z² - 20z  + 64 = 0   | p,q-Formel           p = -20         q = 64

z₁,₂ = 10 ± 6
z₁   =  16
z₂   =   4                 | Resubstitution  x =  ± √z

x₁   =   4
x₂   = - 4
x₃   =   2
x₄   = - 2

Das sind 4 Lösungen. Wie schön! Meist fallen welche aus den reellen Zahlen heraus.

Du vermischst da einiges.

Nichts von dem, was du anführst, ist eine gemischtquadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen könntest.

Aus der Ursprungsgleichung kommst du aber ganz leicht auf eine, in dem du
bei x^4 - 20x^2 + 64 = 0 z.B. u=x² substituierst.

Dann folgt: u² - 20 u + 64 = 0
und hier kannst du u mit der pq-Formel lösen, und dann zurücksubstituieren.

Auch die Polinomdivision ist nicht korrekt:

(x^4 - 20x^2 + 64) : (x-2) = x³+2x²-16x+32

allerdings hast du hiermit auch nicht viel gewonnen, da du erst recht keine quadratische (sondern eine kubische) Gleichung hast!

Kurz: das Problem, das du beim Lösen der quadratischen Gelichung hattest, war, dass du keine quadratische Gleichung hattest!

Kurz: das Problem, das du beim Lösen der quadratischen Gelichung hattest, war, dass du keine quadratische Gleichung hattest!

Na zumindest eine biquadratische Gleichung war vorrätig. ^^

LG Willibergi

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Du solltest substituieren:

x⁴ - 20x² + 64 = 0

u := x²

u² - 20u + 64 = 0

pq-Formel:

            -20             -20
u₁₋₂ = - —— ± √( ( ——)² -  64)
              2                2

u₁ = 4
u₂ = 16

Rücksubstitution:

x² = 4 ⇔ x = ±2

x² = 16 ⇔ x = ±4

x₁ = -4
x₂ = -2
x₃ = 2
x₄ = 4

IL = {-4; -2; 2; 4}

Und schon hast du die Nullstellen. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Ich wiederhole mich:
Alle schreien sie lauthals nach der PQ-Formel weil sie nicht in der Lage sind zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 64 und deren Summe -20 ist...... Das ist wirklich armselig.

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@henzy71

Wenn die pq-Formel gefordert ist, muss die pq-Formel angewendet werden! Punkt.

Eine Linearfaktorzerlegung ist bei dieser Aufgabenstellung falsch und gibt allenfalls einen Punkt für das Ergebnis.

Unter fast jede Antwort den gleichen Kommentar zu schreiben - das ist armselig!

Damit hast du leider jeden Respekt von mir verloren.

LG Willibergi

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@henzy71

@henzy71:

Hab doch ein Herz mit den FS. Wenn sie einmal das Glück haben, auf ein vollständiges, ganzzahliges Binom zu stoßen, kann sich das doch bei den nächsten Aufgaben in der Schule wieder ändern. Dann ist p,q wieder angesagt. Also sollten sie's besser draufhaben!

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Normalerweise benutzen wir sowieso überwiegend den Taschenrechner. Wir brauchen das alles nur im Abitur für den Taschenrechner freien Teil.

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