An Matheprofis! Woher weiß ich, welche Formel ich anwenden muss bei bestimmten Gleichungen?bitte

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Es geht ja um Nullstellenbestimmung von Funktionen, also um Gleichungen, bei denen der Funktionsterm gleich 0 gesetzt wird.

1) Wenn die Potenz mit dem größten Exponent in einer solchen Gleichung x ^ 2 ist, dann kann man die pq-Formel anwenden, sofern der Faktor vor dieser Potenz gleich 1 ist. Ist das nicht der Fall, muss man entweder vorher die gesamte Gleichung durch diesen Faktor dividieren oder die abc-Formel ("Mitternachtsformel") anwenden.

Beispiele:

a) x ² + 4 x - 8 = 0

Hier kann man direkt die pq-Formel anwenden ( p = 4, q = - 8 )

b) 2 x ² + 4 x - 8

Hier kann man entweder die abc-Formel ("Mitternachtsformel") anwenden, oder man dividiert die Gleichung durch den Faktor, der vor der Potenz mit dem größten Exponenten steht, hier also durch 2, und erhält:

x ² + 2 x - 8 = 0

Auf diese Gleichung kann man nun wieder die pq-Formel anwenden

2) Der Satz vom Nullprodukt lautet:

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist.

Diesen Satz kann man dann anwenden, wenn die Polynomfunktion kein absolutes Glied hat, wenn also jeder Summand in dem Funktionsterm die Variable x enthält. Dann kann man die Variable mindestens in erster Potenz ausklammern. Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt dann, dass eine Nullstelle bei x = 0 vorliegt.

Beispiel:

x ³ + 4 x ² + 2 x = 0

[ x ausklammern:]

<=> x * ( x ² + 4 x + 2 ) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist diese Gleichung genau dann erfüllt, wenn x = 0 ist oder wenn x ² + 4 x + 2 = 0 ist.

Eine Nullstelle hat man auf diese Weise bereits gefunden ( x = 0 ). Gleichzeitig hat man den Grad der Polynomfuktion reduziert: Man muss nun nur noch die quadratische Gleichung

x ² + 4 x + 2 = 0

lösen - das aber geht sehr einfach mit der pq-Formel.

3) Die Polynomdivision kann dann sinnvoll angewendet werden, wenn man bei einer Gleichung höheren Grades als 2 bereits eine Nullstelle gefunden (in der Regel geraten) hat. Hat man z.B. für ein Polynom herausgefunden, dass x = 3 eine Nullstelle ist, dann kann man das Polynom per Polynomdivision durch ( x - 3 ) dividieren. Diese Division geht ohne Rest auf und man erhält als Ergebnis eine um einen Grad reduzierte Polynomfunktion. Ist der Grad dieser Ergebnisfunkton gleich 2, kann man wieder die abc- oder die pq-Formel anwenden, andernfalls muss man eine weitere Nullstelle raten.

Beispiel:

x ³ + x ² - 10 x + 8 = 0

Eine Lösung dieser Gleichung ist x = 1

Also Polynomdivision:

( x ³ + x ² - 10 x + 8) : ( x - 1 ) = ( x ² + 2 x - 8 )

Also ist:

( x ³ + x ² - 10 x + 8) = ( x - 1 ) * ( x ² + 2 x - 8 )

Und das ist nach dem Satz vom Nullprodukt genau dann gleich Null, wenn ( x - 1 ) = 0 ist ( das wussten wir ja schon vorher) oder wenn x ² + 2 x - 8 = 0 ist. Wie man sieht ist dieses Polynom nur noch vom Grade 2 und kann daher mit der pq-Formel gelöst werden.

VIELEN VIELEN DANK FÜR DEINE ANTWORT!!!

Ups sorry, hab Freundschaftsanfrage gesendet, bevor ich den Text gelesen hab, dass du alle ablehnst... Gesendet hab ich nur, weil du viele gute Antworten bei Mathethemen gibst und ich darauf zurückgreifen wollte und deine hilfsreichsten Anworten lesen wollte.

Sorry, nochmal.

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Das ist in Mathe besonders sinnvoll:

Die Grundlagen erlernen und vertiefen, vertiefen bis sie im Gehirn automatisch abgerufen werden um dabei auch erklärt zu werden.

Alle drei von Dir eingestellten Formeln findest Du auf youtube erklärt. Weiter findest Du dort Portale auf denen Dir Übungen abgeboten werden zur Vertiefung.

Es ist zu bedenken:

Es zählt weniger das Ergebnis als der Weg dorthin.

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