Koordinatenbasen berechnen?

Könnte mir jemand diese Aufgabe erklären oder einen möglichen Lösungsweg schreiben?

Liebe Grüße :)

Answer 1

[mihisu]

Das kommt etwas darauf an, was...

$K_{\mathcal{B}_1}(4+8x)\ \text{ bzw. }\ K_{\mathcal{B}_2}(4+8x)$

... überhaupt sein sollen? Wie habt ihr das definiert?

Vermutlich sind damit die entsprechenden Koordinatenvektoren (Spaltenvektoren, die man erhält, wenn man die Vektoren bzgl. der angegebenen Basis darstellt) gemeint. [Zumindest gehe ich im Folgenden davon aus.]

Bemerkung: Ein weiteres Problem ist, dass du nur ungeordnete Basen gegeben hast. Bei Mengen ist die Reihenfolge egal. So ist {1, x} = {x, 1}. Es müsste also zuerst eine geordnete Basis festgelegt werden, also ob (1, x) oder (x, 1) als geordnete Basis zur ungeordneten Basis B₁ = {1, x} betrachtet werden soll. Ich gehe mal davon aus, dass (1, x) als entsprechende geordnete Basis verwendet werden soll. Aber das ist schlecht vom Aufgabensteller, das nicht anzugeben, da dann nämlich die Aufgabenstellung nicht eindeutig lösbar ist.

Dann ist jedenfalls...

$K_{\mathcal{B}_1}(4+8x)=\begin{pmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\end{pmatrix}\ \text{ bzw. }\ K_{\mathcal{B}_2}(4+8x)=\begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\end{pmatrix}$

... mit den Koeffizienten λ₁, λ₂ bzw. μ₁, μ₂ aus dem zugrundeliegenden Körper ℝ, für die...

$4+8x=\lambda_1\cdot 1+\lambda_2\cdot x\ \text{ bzw. }\ 4+8x=\mu_1\cdot \left(1+x\right)+\mu_2\cdot \left(1+2x\right)$

... gilt.

D.h. du musst den Vektor 4 + 8x als Linearkombination der Basisvektoren darstellen, und dann die Koeffizienten dieser Vektoren in einen Spaltenvektor schreiben.

===== Lösung =====

Offensichtlich ist...

$4+8x=4\cdot 1+8\cdot x$

Damit ist dann...

$K_{\mathcal{B}_1}=\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}$

Für den anderen Koordinatenvektor ...

$\mu_1\cdot \left(1+x\right)+\mu_2\cdot \left(1+2x\right)=4+8x$

$\Leftrightarrow\quad \mu_1+\mu_1 x+\mu_2+2\mu_2 x=4+8x$

$\Leftrightarrow\quad \mu_1+\mu_2+\left(\mu_1 +2\mu_2\right) x=4+8x$

$\Leftrightarrow\quad \mu_1+\mu_2=4\ \text{ und }\ \mu_1 +2\mu_2=8$

$\Leftrightarrow\quad \mu_1=4-\mu_2\ \text{ und }\ 4-\mu_2 +2\mu_2=8$

$\Leftrightarrow\quad \mu_1=4-\mu_2\ \text{ und }\ \mu_2=4$

$\Leftrightarrow\quad \mu_1=4-4\ \text{ und }\ \mu_2=4$

$\Leftrightarrow\quad \mu_1=0\ \text{ und }\ \mu_2=4$

[Bzw. hätte man vielleicht auch direkt 4 + 8x = 4 ⋅ (1 + 2x) = 0 ⋅ (1 + x) + 4 ⋅ (1 + 2x) erkennen können.]

$K_{\mathcal{B}_2}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$

Comments

[Javahacker]

Danke dir :) Ist die richtige Lösung! Hat sehr geholfen, danke.