Konvergenzradius?

Was ist hier der konvergenzradius?

Answer 1

[mihisu]

Beispielsweise so...

$\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{k+1}{1-k^2}\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^{k}$

$=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{k+1}{\left(1-k\right)\cdot \left(1+k\right)}\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^{k}$

$=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{1-k}\cdot \frac{x^k}{2^k}$

$=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\underbrace{\frac{1}{1-k}\cdot \frac{1}{2^k}}_{a_k}\cdot x^k$

Für den Konvergenzradius erhält man nun:

$r=\lim\limits_{n\to \infty}\left\lvert\frac{a_k}{a_{k+1}}\right\rvert$

$=\lim\limits_{k\to \infty}\left\lvert\frac{\frac{1}{1-k}\cdot \frac{1}{2^k}}{\frac{1}{1-\left(k+1\right)}\cdot \frac{1}{2^{k+1}}}\right\rvert$

$=\lim\limits_{k\to \infty}\left\lvert\frac{\frac{1}{1-k}\cdot \frac{1}{2^k}}{\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{2^{k}}\cdot \frac{1}{2}}\right\rvert$

$=\lim\limits_{k\to \infty}\left\lvert\frac{2\cdot k}{1-k}\right\rvert$

$=\lim\limits_{k\to \infty}\left\lvert\frac{2}{\frac{1}{k}-1}\right\rvert$

$=\left\lvert\frac{2}{0-1}\right\rvert$

$=\left\lvert -2\right\rvert$

$=2$

Comments

[Wosong]

Ist r dann nicht -2?

[mihisu]

@Wosong

Nein. Der Konvergenzradius ist 2, nicht -2. Ein negativer Konvergenzradius ergibt keinen Sinn.

Aber ich habe in meiner Antwort tatsächlich die Betragsstriche zu früh weggelassen. Diese werden hier relevant, sodass man |-2|, also dann 2, erhält.

[Wosong]

@mihisu

Danke 🙏🏼

[mihisu]

@Wosong

Ich habe nun in meiner Antwort die zuvor in den letzten Zeilen versehentlich weggelassenen Betragsstriche ergänzt.

[Wosong]

@mihisu

Ich bin verwirrt. Wenn ich die Betragsstriche am Anfang weglassen würde, dann würde doch die Gleichung von 1/1-k doch 1/k-1 lauten oder? (sagt chatgpt, inwieweit das jetzt stimmt...)

Und wenn ich das Wurzelkriterium anwende, was wäre dann, wenn n gegen unendlich geht, die n-te Wurzel aus n+1? Das wird wahrscheinlich 1 sein, aber wie würde ich das in der Klausur als Begründung schreiben?

Answer 2

[ChrisGE1267]

Die Reihe konvergiert für

$x \in [-2, 2)$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[Wosong]

Wie kommst du darauf?
ist r=1? Wenn n gegen unendlich geht, was ist die n-te Wurzel aus n+1?

[ChrisGE1267]

@Wosong

Der Exponentialterm x/2 muss betragsmässig kleiner als 1 sein - für x = -2 konvergiert die alternierende harmonische Reihe…

PS: Du kannst wegen 1 - k^2 = - (k-1) (k+1) einmal (k+1) rauskürzen…