Kennt sich hier jemand mit Tensoren aus und kann mir erklären wie die Aufgabe hier gelöst wird?
Das wäre die Lösung dazu. Ich verstehe halt nicht den Schritt mit der Ableitung
Hier noch eine Ergänzung. Hoffe hab es deutlich gekennzeichnet was mir unklar ist :)
Aber müsste nicht eig wenn ich x1^2 + x2^2 + x3^2 nach j ableite 0 rauskommen?
Kannst du mir evtl. möglichst ausführlich erklären was dieses nabla Symbol bedeutet und wie das ganze hier gerechnet wird?
1 Antwort
Da sind gewisse Angaben vorhanden, aber es ist nicht klar, was nun mit diesen Angaben gemacht werden soll.
=============
Das wäre so ähnlich, als wenn ich schreiben würde...
... Und? Was soll nun mit dem Term „7x + 3“ gemacht werden?
Weißt du, was ich meine?
=============
Gibt es vielleicht noch eine konkrete Aufgabenstellung (vielleicht über dem von dir im Bild gezeigten Ausschnitt), die beschreibt, was du mit diesen Angaben machen sollst?
====== Ergänzung ======
Ahh, ok. Da geht es quasi um partielle Ableitungen. Sorry, aber die Schreibweise, die ihr da verwendet, ist etwas ungewöhnlich.
Da kannst das in etwa so sehen...
Du hast quasi den Betrag...
Nun ist die partielle Ableitung bzgl. der x_j-Komponente gesucht. Wenn du beispielsweise die Ableitung bzgl. der x₁-Komponente brauchst, so ist das mit Hilfe der Kettenregel...
Zuerst wird die Wurzel √(...) als äußere Funktion abgeleitet, was 1/(2√(...)) ergibt. Da in der Wurzel jetzt aber nicht einfach nur x₁ steht, sondern etwas anderes, muss dieser Term, der in der Wurzel steht, noch bzgl. x₁ nachdifferenziert werden, was den Faktor 2x₁ ergibt. Allgemeiner für beliebige Komponente x_j statt konkret für x₁ formuliert, erhält man...
Das sieht in der Lösung für dich vielleicht nur etwas komplizierter aus, da ihr da eine Schreibweise mit einsteinscher Summenkonvention verwendet. Und beispielsweise (x_i x_i) statt x₁² + x₂² + x₃² schreibt.
Bei x_,ij wird dann...
... nochmal bzgl. der j-ten Komponente abgeleitet.
Wenn man x_i selbst bzgl. der j-ten Komponente ableitet, erhält man 0, wenn i ungleich j ist (da die i-te Komponente bei Ableitung bzgl. der j-ten Komponente wie eine Konstante behandelt wird, also abgeleitet 0 ergibt). Und man erhält 1, wenn i = j ist. Das kann man mit dem Kronecker-Delta-Symbol ausdrücken...
Dementsprechend erhält man also bei Ableitung von x_i bzgl. der j-ten Komponente...
Mit der Quotientenregel erhält man dann bei der Ableitung von...
... bzgl. der j-ten Komponente...
Hab nichts ergänzt. Ganz unten mit dem roten Kästchen. Ich verstehe einfach nicht wie daraus 2x_j wird
Du brauchst die Kettenregel. Wenn du eine Funktion f(x) = g(h(x)) hast, die als Verkettung von einer äußeren Funktion g und einer inneren Funktion f geschriebenwerden kann, so erhält man mit der Kettenregel f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).
Es wird also die äußere Ableitung g' gebildet, wo dann die innere Funktion h(x) unverändert eingesetzt bleibt. Zusätzlich muss noch die innere Funktion nachdifferenziert werden, d.h. die Ableitung h'(x) der inneren Funktion gebildet und damit multipliziert werden.
Im konkreten Fall hat mal als äußere Funktion die Wurzelfunktion, welche abgeleitet 1/(2 √(...)) ergibt. Da wird dann die innere Funktion x₁² + x₂² + x₃² unverändert wieder eingesetzt, was 1/(2 √(x₁² + x₂² + x₃²)) ergibt. Soweit, so gut. Nun muss aber wegen der Kettenregel, wie bereits angesprochen, die innere Funktion x₁² + x₂² + x₃² noch nachdifferenziert werden. Bei Ableitung bzgl. der x₁-Komponente fällt das "+ x₂² + x₃²" als konstanter Summand weg, und x₁² ergibt abgeleitet 2 x₁². Beim Nachdifferenzieren erhält man dann also einen Faktor 2 x₁². Wenn man die Ableitung bzgl. der zweiten Komponente bildet, statt nach der ersten Komponente, ist der Faktor dann 2 x₂ statt 2 x₁. Wenn man allgemein nach der j-ten Komponente (allgemein, ohne genaue Angabe, ob man mit j nun 1, 2 oder 3 meint) ableitet, erhält man dann eben den Faktor 2 x_j, den man mit 1/(2 √(x₁² + x₂² + x₃²)) multiplieren muss.
Damit solltest du jetzt evtl. besser das von dir angesprochene rote Kästchen verstehen können. Das im roten Kästchen, beschreibt, dass x₁² + x₂² + x₃² nach der j-ten Komponente abgeleitet werden soll, was notwendig ist, da x₁² + x₂² + x₃² entsprechend der Kettenregel als innere Funktion nachdifferenziert werden muss. Und wenn du Probleme beim bilden dieser Ableitung fürs nachdifferenzieren hast, kannst du statt allgemein bzgl. der j-ten Komponente mit den konkreten Zahlen 1, 2 bzw. 3 arbeiten, und solltest dann das Muster erkennen können.
Hey,
habe nochwas ergänzt. Kannst du mir erklären was falsch an meinem Gedankengang ist. Weil eig sind doch alles Konstanten sozusagen und j ist nirgendswo enthalten. Wieso ist die Ableitung dann nicht = 0?
j ist hier immer eine der Zahlen 1, 2 oder 3. [Nur das man nicht alle 3 Fälle getrennt voneinander aufschreiben möchte, da das 3-fachen Schreibaufwand bedeuten würde. Sondern das allgemein einmal aufschreibt.]
Und wenn nun beispielsweise j = 1 ist, so wird also bzgl. der ersten Komponente abgeleitet. Und dann ist die Ableitung nicht 0 sondern 2 x₁.
Also...
(x₁² + x₂² + x₃²)_,j = 2 x_j
Denn für j = 1 ist...
(x₁² + x₂² + x₃²)_,1 = 2 x₁
... und für j = 2 ist...
(x₁² + x₂² + x₃²)_,2 = 2 x₂
... und für j = 3 ist...
(x₁² + x₂² + x₃²)_,3 = 2 x₃
Wenn du stattdessen fälschlicherweise (x₁² + x₂² + x₃²)_,j = 0 sagen würdest, was würde man dann für j = 1 erhalten? Dann würde man doch wegen (x₁² + x₂² + x₃²)_,j = 0 dann (x₁² + x₂² + x₃²)_,1 = 0 erhalten. Aber es ist nun einmal korrekterweise (x₁² + x₂² + x₃²)_,1 = 2 x₁.
Also j einf nur als eine mögliche zahl von 1 bis 3.
Kennst du dich auch mit dem Nabla Symbol aus und mit Rechenoperationen damit?
Also j einf nur als eine mögliche zahl von 1 bis 3.
Ja, so kann man das sehen.
Kennst du dich auch mit dem Nabla Symbol aus und mit Rechenoperationen damit?
Ja.
Hab es einfach mal in die Frage mit reingepackt. Würde sehr gerne verstehen was es mit dem Nabla Symbol auf sich hat.
danke für die ganze Hilfe übrigens. Unfassbar ehrlich
Hab etwas zu dem Nabla Symbol hochgeladen. Falls du weißt wie man das macht gerne erklären :)
Ganz kurz mal. Kein Plan ob du das noch liest, aber woher kannst du das. Egal was für ein Zeug ich von der Uni frage du weißt immer wie es geht.
woher kannst du bitte Tensorrechnung ?
Naja. Ich habe eben Mathematik und Physik (im Rahmen meines Studiums fürs Lehramt an Gymnasien in Bayern) studiert.
Bei der konkreten Frage hier, habe ich Kenntnisse genutzt, wie ich sie unter anderem auch in den Mathematik-Vorlesungen "Analysis" und "Lineare Algebra" und in der Physik-Vorlesung "Theoretische Mechanik" gebraucht habe. Tensoren kenne ich insbesondere aus der "Theoretischen Mechanik" und aus der "Linearen Algebra II". Wobei das bei deiner Frage ja nicht so richtig indie Tiefe geht, was Tensoren betrifft, sondern eher eine einfache Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel aus der Analysis ist.
Naja. Es steht halt nur noch da. Beweisen sie folgende Gleichheiten.
Ich lade mal die Lösung mit hoch. Geht um Ableitungen etc.
OK. Ich hatte wegen der ungewöhnlichen (mir nicht bekannten) Schreibweise, die ihr für die Ableitung verwendet, nicht erkannt, dass es um Ableitungen geht.
Ich habe mal meine entsprechend Antwort ergänzt.
Meine Frage ist noch wo kommt hinter der Wurzel diese 2x_j her? Das mit der Wurzel habe ich alles schon verstanden. Versuche nur die ganze Zeit zu verstehen wo auf ein mal das 2*x_j herkommt.
Kannst du mir das vielleicht irgendwie noch erklären?