Kann mir jemand bei dieser Integralfunktions-Aufgabe helfen?
Es geht um die Nr.21 (1) b) und (2) a) und b)
3 Antworten
Aufgabe 21, 1b)
Folgende Fakten liest man aus Graph und Aufgabenstellung:
F(0) = 3
F(3) = 0
F'(0) = 1
F'(1) = 0
F'(3) = 0
Funktionsprototyp: F(x) = a*x^2 + b^x (hier habe ich etwas geraten...)
Die Nullstelle befindet sich bei x=3. Daher präzisiert: F(x) = a(x-3)^2+b^(x-3)
Die Punkte (0/3) und (3/0) kann man einsetzen, man erhält ein Gleichungssystem:
a(0-3)^2+b^(0-3) = 3
a(3-3)^2+b^(3-3) = 0
Als Zwischenlösung erhält man: a= b^3/3
Somit, mit a substituiert lautet F(x) = a(x-3)^2+b^(x-3) neu:
F(x) = b^3/3*(x - 3)^2*b^(x - 3)
Dann leiten wir das neue F(x) ab:
F'(x) = (2b^3(x-3)*b^(x-3))/3 + b^3(x - 3)^2*b^(x - 3)*ln(b)/3
Wir wissen, dass F'(1) = 0. Das setzen wir nun in F'(x) ein um b zu bestimmen:
(2b^3(1-3)*b^(1-3))/3 + b^3(1 - 3)^2*b^(1 - 3)*ln(b)/3 = 0
Als Lösung erhalten wir b=e (e=2.71828...)
Somit lautet F(x) = e^3/3*(x-3)^2+e^(x-3)
Nachprüfen:
F(0) = 3 (OK)
F(3) = 0 (OK)
F'(0) = 1 (OK)
F'(1) = 0 (OK)
F'(3) = 3 (OK)
Die Fläche, die von F'(x) zwischen 1 <= x <= 3 von der x-Achse
eingeschlossen wird beträgt demzufolge (F ist ja bereits Stammfunktion):
F(3) - F(1) = 0 - 3.624375768 = -3.624375768
Die Frage ist allenfalls, ob man das nicht alles einfacher hätte machen können.
Wenn ich nochmals darüber nachdenke, bin ich der Meinung, dass man die Aufgabe bestimmt sehr viel leichter hätte lösen können. F(3) können wir ja aus dem Graph ablesen. Aber wie komme ich ohne allzugrosse Rechnerei auf F(1)? Hat jemand eine Idee? (ich meine natürlich rechnerisch, nicht durch qualitatives Ablesen des Dezimalwerts von F(1) mit dem Masstab aus der Grafik).
In dem vorgeschlagenen Funktionsprototyp gibt es keinen Parameter c. Falls man einen solchen definieren möchte, müsste der Prototyp anders definiert werden und es bräuchte eine Gleichung mehr, um ein c zu bestimmen. "Erraten" habe ich den passenden Prototypen, weil der Graph nach der Nullstelle ein exponentielles Wachstum zeigt und vor der Nullstelle einen mehr polynomialen Charakter aufweist. Der Graph-Nullstelle ist vom Koordinatenursprung um 3 Einheiten nach rechts verschoben, somit passt es eigentlich weil, für ein x < 3 der Exponent im Teil-Term b^(x-3) insgesamt negativ wird und der Graph nach einem lokalen Maximum gegen null tendiert für x->-∞
bei 2 a) steht eine Kontrollfunktion und bei bx steht 4x wie kann das sein, wenn für b= e herausgekommen ist?
bei 2a) wird ein Prototyp (ax^2+bx+c)*e^x definiert. Also ein anderer, als jener, mit welchem ich interpoliert habe in Aufgabe a). Es heisst in Aufgabe a) auch nirgendwo, was denn der "richtige" Prototyp sei. User Aurel hat deshalb die Aufgabe 1b) konsequenterweise gleich mit Ablesen des F(1) Wertes aus dem Graphen gelöst und gar nicht erst versucht, die Stammfunktion F mit einem Term auszudrücken. Ich jedoch habe den Weg gewählt, eine mögliche für die Interpolation passende Funktion aus den bestehenden Punkten herzuleiten, die alle gegebenen Kriterien erfüllt und der Form des Originalgraphen sehr ähnlich ist. Das heisst aber nicht zwingenderweise, dass der Autor der Aufgabe, welcher einmal eine Stammfunktion als Term für den Plot des Graphen eingegeben hat, die exakt selbe Funktion verwendet hat. In Aufgabe 2a) wird nun ein Prototyp vorgegeben, und somit sind die Anweisungen klarer, was zu tun ist. Bei Aufgabe 1b) war wohl wirklich gemeint, F(1) einfach mit dem Massstab aus dem Graphen abzulesen, deshalb heisst es wohl bei 1b) auch man solle nur eine Dezimalstelle angeben.
Für die Aufgabe 2a hast Du nun drei unbekannte Parameter, a, b und c, die Du bestimmen musst. D.h. Du musst aus den vorhandenen Punkten von F(x) und F'(x) irgendwie drei Gleichungen formulieren und dann das Gleichungssystem nach a, b, und c auflösen. Oftmals ist es leicht, zuerst das c zu bestimmen, wenn man für x den Wert 0 einsetzt. Wir sehen, dass für den Graph f(x) beim Punkt x=0 ein y=1 resultiert. Also: (ax^2+bx+c)*e^x = y , d.h. (a*0^2+b*0+c)*e^0=1. Somit: (0+0+c)*1=1 und daher: c*1=1 und schliesslich c=1.
Jetzt brauchst Du nur noch zwei weitere Punkte nämlich 1/0 und 3/0, die Du in die neue Gleichung (ax^2+bx+1)*e^x einsetzt. Dann hast Du zwei Gleichungen, und aus denen kannst Du a und b bestimmen.
Falls Du Dich noch wunderst, warum in der Kontrollfunktion vermeintlich der Wert 3 für den Parameter c steht, dann beachte, dass bei dieser Funktion noch 1/3 vor der Klammer steht. Und 1/3 * 3 = 1 ... somit stimmt also die obige bestimmung des c.
Ich habe das so gemacht und einmal a=-b-1 und a=-(b/3)-(1/9) herausbekommen und diese dann gleichgesetzt um auf b zu kommen aber bei mir kommt b=-1 heraus statt 4 bzw 4/3. was mache ich falsch?
21 (1) b)
durch Ablesen des Graphen von F(x) ergibt sich in etwa:
Fläche = F(3) - F(1) = 0 - 3,6 = -3,6
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Welche weiteren Fragen sind noch offen?
Oh ich hab’s jetzt verstanden..mit dem ablesen😅
der Graph G_F, also somit F(x) berührt ja bei x = 3 die x Achse,somit ist dort F = 0
Es heisst in der Aufgabenstellung, dass die Koordinaten der Achsenschnittpunkte und des *Berührpunkts* ganzzahlig sind. Wenn man den Graph abliest, kommt somit für F(3) eindeutig y=0 raus.
Ich habe bemerkt, dass der Parameter c noch fehlt. Wie würde man das noch herausfinden? Bei 2 a)
Wurde mittlerweile, glaube ich, schon von davegarten beantwortet
bei 2b) musst du zeigen: F '(x) = f(x)
und F(3) - F(1) mittels F(x) berechnen
Hallo Annalena
Zu Deiner letzten Frage:
Du raubst noch meinen ganzen Feierabend :)... Diese Lösung noch, aber dann ist Schluss für heute!
Wir haben bei Aufgabe 21/ 2a) folgende drei Gleichungen, die sich aufgrund der Punkte (0/1), (1/0) und (3/0) ergeben, wenn man sie in den Prototyp
y=(ax^2+bx+c)*e^x
einsetzt:
(a*0^2 + b*0 + c) * e^0 = 1 (Punkt 0/1)
(a*1^2 + b*1 + c) * e^1 = 0 (Punkt 1/0)
(a*3^2 + b*3 + c) * e^3 = 0 (Punkt 3/0)
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit 3 unbekannten Variablen a, b, und c.
Aus der obersten Gleichung für Punkt 0/1 geht auf einen Blick hervor, dass c=1 sein muss. Es bleiben die anderen zwei Gleichungen, in der wir an Stelle von c eine 1 setzen, und die Gleichungen noch etwas vereinfachen. Dann sehen sie wie folgt aus:
(a + b + 1) * e^1 = 0 (Punkt 1/0)
(9a + 3b + 1) * e^3 = 0 (Punkt 3/0)
Wir können bei beiden Gleichungen durch das e^irgendetwas dividieren. Rechts des gleichheitszeichens bleibt die null, denn 0 durch e^irgendwas gibt immer noch 0.
Daher lauten die Gleichungen dann:
a+b+1 = 0
9a+3b+1 = 0
Und das ist jetzt super einfach aufzulösen:
Ich löse die obere gleichung nach b auf und erhalte:
b= -a - 1
Dies setze ich an Stelle von b in der unteren Gleichung ein:
9a+3b+1 = 0
9a+3(-a - 1) + 1 = 0
9a-3a-3+1=0
6a-2=0
6a=2
a=1/3
b kann ich aus der obigen Zwischenlösung b= -a - 1 herleiten:
b=-1/3 - 1 = -4/3
Somit kenne ich a, b, und c, und setze diese nun in den Prototypen ein:
f(x) = (1/3*x^2 - 4/3x + 1) * e^x
Das wäre dann die Lösung. Und wenn Du aus jedem Summand 1/3 ausklammerst, kommst Du auf f(x) = 1/3 * (x^2 - 4x + 3) * e^x (also so wie es im Buch als Lösung angegeben ist).
Wie würde man den Parameter c noch herausbekommen? Und wie hast du die stammfunktion herausgefunden?