Stammfunktion herausfinden?

Stammfunktion bei d) rausbekommen

Answer 1

[nobytree2]

Hallo, das 2x ist offensichtlich die innere Ableitung von (x² - 4), den Faktor 2/3 kannst ganz vor die Integralumwandlung nehmen. Also nur noch (x² - 4) als Nenner aufleiten.

$\int\frac{2}{3}2x\cdot\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{2}{3}\int\left(x^2\right)'\cdot\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{2}{3}\int\left(x^2\right)'\left(x^2-4\right)^{-1}dx$

$=\frac{2}{3}\ln\left(x^2-4\right)$

plus C.

da (x²)' = (x² - 4)' = 2x, also die Ableitung von x² - 4 ist 2x. Damit kann ich 2x durch (x² - 4)' ersetzen und habe im Term die innere Ableitung von (x² - 4).

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

der wichtigste Hinweis ist doch schon gegeben.

Dadurch, daß 2/3 vor das Integral gezogen werden kann, bleibt unter dem Integral mit (x²-4) ein Nenner, der nach der dritten binomischen Formel zu (x+2)*(x-2) umgewandelt werden kann.

Den Bruch (2x)/[(x+2)*(x-2)] kannst Du mit Hilfe der Partialbruchzerlegung in die Summe 1/(x+2)+1/(x-2) umwandeln und die Summanden einzeln integrieren.

So bekommst Du als Stammfunktion F(x)=(2/3)*[ln |x+2|+ln |x-2|]+C.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[nobytree2]

Das ist auch gut! Ich hätte einfach die 2x als innere Ableitung von x² - 4 genommen, aber Partialbruchzerlegung hat Stil.

[Willy1729]

@nobytree2

Du hast ihm ja noch eine gute Alternative aufgezeigt.

Answer 3

[Rhenane]

Stellst Du die Funktion so um wie im Hinweis, erhältst Du einen Bruch, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist. Für diese Form, also f(x)=g'(x)/g(x) gibt es eine "Formel" - d. h. diese Form wirst Du sicher in jeder vernünftigen Formelsammlung finden.

f(x)=g'(x)/g(x) => F(x)=ln(|g(x)|)

g(x) ist in Deinem Fall (x²-4), also: F(x)=2/3 * ln(|x²-4|) [+ C]