Integralfunktion/Stammfunktion?
Guten Abend, kann mir jemand kurz erklären warum jede Integralfunktion eine Stammfunktion ist, aber nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion? Vielen Dank schonmal!
3 Antworten
Soweit ich es überblicke, ist es umgekehrt.
Beispiel:
f(x) = 0, falls x <= 0
f(x) = 1, falls x > 0
F(x) = 0, falls x <= 0
F(x) = x, falls x > 0
f(x) hat wie jede stückweise stetige Funktion eine Integralfunktion, die gerade gleich F(X) ist.
Aber F(x) ist keine Stammfunktion von f(x), da F(x) an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist.
Dass jede Stammfunktion eine Integralfunktion ist, folgt aus dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung.
Das kann man ganz leicht an einem Beispiel verstehen:
f(x) = 4x^3+2x^4
Integralfunktion von f(x) = x^4+0,4x^5
-> Dies ist auch gleichzeitig eine mögliche Stammfunktion von f(x)
Nun gibt es aber auch Stammfunktionen zu f(x), die noch eine Konstante C haben, z.B. x^4+0,4x^5+10, die aber keine Integralfunktion sein können, weil sie z.B. keine Nullstellen haben.
Weil man bei einer Stammfuntkion die Konstante auch so groß wählen kann, dass sie jedes Integral überragt.