Intergral von 1/((x^2)+1)?

Hallo! Wenn ich die Fläche unter der Funktion 1/((x^2)+1) berechne kommt dabei exakt Pi raus. Meine erste Frage wäre, warum das so ist. Warum ist der Flächeninhalt unter einer so verhältnismäßig einfachen Funktion genau Pi? Dann: Wenn man das Intergral von derselben Funktion von -1 bis 1 berechnet kommt man auf ziemlich genau Pi/2. Aber es kommt nicht exakt Pi/2 raus. Wieso nicht?

Vielen Dank! :)

Answer 1

[Hamburger02]

Warum ist der Flächeninhalt unter einer so verhältnismäßig einfachen Funktion genau Pi?

Das ist etwas geheiminisvolles in den beiden transzendenten Zahlen pi und e. Die tauchen andauernd an irgendwelchen Ecken und Ende in der Mathematik und in der Natur auf, wo man nur staunen kann. Du hast hier nur eine von hunderten Stellen entdeckt, wo das der Fall ist, dass eine der beiden Zahlen plötzlich wie aus dem Nichts auftaucht.

Die hängen auch beide irgendwie voneinander ab und wenn man mit der einen Zahl rechnet, ist die andere plötzlich auch da. Ein Zusammenhang ist z.B. die Eulersche Idendität:

e^(i*π) + 1 = 0

oder das Gaußsche Fehlerintegral:

Answer 2

[LORDderANALYSE]

Die allgemeine Stammfunktion lautet:

$x\cdot_2F_1\left(\frac{1}{2},\ 1;\ \frac{3}{2};\ -x^2\right)+c$

Dabei ist 2F1(a, b; c; z) die Gaußsche hypergeometrische Funktion und "c" eine beliebige Konstante.

Sagen wir, dass x eine komplexe Zahl ist, dann können wir das ganze noch zu dem vereinfachen:

$\arctan\left(x\right)+c=\tan^{-1}\left(x\right)+c$

(das kannst du z.B. leicht mit einer Reihenentwicklung oder trigonometrischen Identitäten finden)

Mit der Vereinfachung zu einer inversiven Trigonometrischen Funktion ist die Verbindung zu Pi offensichtlich.

$\arctan\left(\pm1\right)=\pm\frac{\pi}{2}$

Es ist also nicht nur ungefähr Pi/2, sondern genau Pi/2.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 3

[gauss58]

Der tan ist für -π/2 bzw. π/2 nicht definiert. Bezogen auf das Intervall ]-π/2 ; π/2[ ist der arctan die Umkehrfunktion des tan.

Der Definitionsbereich vom tan ist der Wertebereich vom arctan. Folglich wird der Funktionswert -π/2 bzw. π/2 vom arctan nicht erreicht, aber der Grenzwert für x gegen -unendlich ist -π/2 und der Grenzwert für x gegen unendlich ist π/2.

Der arctan ist das Integral der genannten Funktion. Da es sich um ein uneigentliches Integral handelt, also von -unendlich bis unendlich, ist die Fläche die Summe der Beträge von -π/2 und π/2, also π.

Answer 4

[tunik123]

Eine Stammfunktion ist F(x) = arctan(x).

Es ist

arctan(-unendlich) = -Pi/2

arctan(+unendlich) = +Pi/2

Also ist das Integral von -unendlich bis +unendlich genau Pi.

arctan(-1) = -Pi/4

arctan(+1) = +Pi/4

Das Integral von -1 bis +1 ist also genau Pi/2 (und nicht nur ungefähr).

Comments

[AnswerAnt314]

Ah, danke. Gut zu wissen! Ich hab's mit GeoGebra verglichen und wahrscheinlich haben die das einfach nicht so genau ausrechnen können.