Güterzug mit zeitabhängiger Beladung?

Ein leerer, offener Guterwagen (Länge L = 10 m, Masse M0 = 6 000 kg, Geschwindigkeit v0 = 18 km/h) rollt antriebslos unter einer Beladevorrichtung hindurch, bei der senkrecht von oben aus einem großen Vorratssilo kontinuierlich Sand auf die Ladefläche fällt. Die Fördermenge des Sands beträgt α = 1 500 kg/s.
(a) Gib zunächst den allgemeinen Ausdruck für v(t) an.
(b) Berechne nun die zuruckgelegte Strecke s (t) und überlege dir daraus eine ¨ Bedingung fur die gesamte Beladungszeit T0. Welche Geschwindigkeit hat der Wagen nach dem Beladen? (Bitte zuerst den allgemeinen Ausdrack angeben und dann erst Zahlen einsetzen.)

Jensek81'scher Ansatz

a) p M (t) * v (t) = const
M (t) = Mo + α * t
Mo * vo = Mt () * v (t)

=> v(t) = (M0*v0) / M (t)

??
b) s (t) = ∫ v (t) dt = vo ∫ Mo/MO + α t

Aus Hinweis ∫ 1/1+ct dt = 1/c ln (1 + ct) => ∫ Mo/MO + α t = 1/α ln (1 + α t)
=> 18 km/h * 1/1500 ln (1 + 1500 kg /s) = 0,0877

Beladungszeit: 1/2 a To² = L
=> T0 = √ 2 L/a

Geschwindigkeit nach Beladung v0 + a * T0
18 km/H + a * √2L/a

Mit freundlichen Grüßen,

Dr. Hanna Hüngerchen
Gestalterische Genetikerin

Answer 1

[evtldocha]

Hier meine Version einer Lösung:

Aufgabe a)

Massenfunktion:

$m\left(t\right)=m_0+\alpha\cdot t$

Impulserhaltung: $m\left(t\right)\cdot v\left(t\right)=m_0\cdot v_0\ \to v\left(t\right)=\frac{m_0\cdot v_0}{m\left(t\right)}$

und damit dann: $v\left(t\right)=\ \frac{m_0\cdot v_0}{m_0+\alpha\cdot t}=\frac{v_0}{1+\frac{\alpha}{m_0}\cdot t}\ =\frac{v_0}{1+c\cdot t}\ \ mit\ c:=\frac{\alpha}{m_0}$

Aufgabe b) $s\left(t\right)=\int_{_0}^tv\left(\tau\right)d\tau\ =v_0\int_{_0}^t\frac{1}{1+c\cdot\tau}d\tau\ =\ \frac{v_0\cdot m_0}{\alpha}\ln\left(1+\frac{\alpha}{m_0}\cdot t\right)$

Bedingung für t_B $s\left(t_B\right)=L$ Damit ist

Die Zahlen eingesetzt ergibt das eine Beladungszeit von ca. 2,59 s

Die Endgeschwindigkeit ergibt sich durch Einsetzen von t_B in die Geschwindigkeitsformel aus Aufgabe a)

$v\left(t_B\right)=\frac{v_0}{1+c\cdot t_B}\ =\ \frac{v_0}{1+e^{\frac{L\cdot\alpha}{m_0\cdot v_0}}-1}=v_0\cdot e^{-\frac{L\cdot\alpha}{m_0\cdot v_0}}$

Setzt man hier die Werte ein, kommt man auf ein Endgeschwindigkeit von ca. 3,03 m/s bzw. ca. 10,92 km/h.

Die Probe ergibt dann einen Impuls vor und nach der Beladung (ca. 3892,3 kg Zuladung) von jeweils 30000 Ns.

(Sorry für die mittendrin eingefügten Formeln als Bilder, aber diese komische Webseite hier erlaubt keine Posts mit vielen Formeln - warum auch immer)

Comments

[Jensek81]

wow, vielen dank dir für die klare, nachvollziehbare Rechnung!
(ja, Formeln auf GF ist immer so ne Sache^^)

Answer 2

[isohypse]

a sieht gut aus

b s (t) = ∫ v (t) dt stimmt auch, nur solltest du Klammern setzen bei dem was folgt, sinst kenn7 man sich nicht aus

s(t)= vo ∫ Mo/(MO + α t') dt'

Comments

[Jensek81]

Danke dir.

Ich versuchs nochmal zu klammern:
Im Hinweis steht ∫ ( 1/(1+ct) ) dt = 1/c * (ln (1 + ct)

Das würd ich jetzt anwenden auf => ∫ (Mo/(MO + α t) ) = 1/α * ln (1 + α t)

=> 18 km/h * 1/1500 * ln (1 + 1500 kg /s) = 0,0877
Falsch das so stimmt.

Dan wär die Beladungszeit

Beladungszeit: (1/2) a To² = L

=> T0 = √ (2 L/a)

Geschwindigkeit nach Beladung v0 + a * T0

18 km/h + a * √(2L/a)

Da weiß ich jetzt halt nicht was ich für a einsetzen soll

Answer 3

[Rammstein53]

Impulserhaltung: m(0)*v(0) = m(t)*v(t)

v(t) = m(0)*v(0)/m(t) , m(t) = m(0) + α*t

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Beladezeit:

s(t) = Integral v(t)dt = m(0)*v(0) * log( m(t) ) * 1/α

Substitution: p = m(0)*v(0)/α

s(t) = p * log( m(t) )

Es muss gelten s(t) - s(0) = L

p * log( m(t) ) - p * log( m(0) ) = L

Umformen:

log( m(t)/m(0) ) = L/p

log( 1 + 1/4*t ) = L/p

L/p ist eine Konstante, Lösung über die e-Funktion: t ~ 2.59489

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Geschwindigkeit nach dem Beladen:

v(t) = m(0)*v(0)/m(t) = (6000*18/3.6)/(6000+1500t)

t eingesetzt ergibt ~ 3.032651 m/s