Grenzwertbestimmung?

Hey ihr Lieben,

ich versuche gerade meine Aufgaben in Mathe zu lösen und komme bei den zwei einfach nicht weiter. Ich hab’s bei der a schon übers Minorantenkriterium versucht, aber irgendwie klappts nicht. Könnt ihr mir da helfen?

(b) Zeigen Sie: Für alle x > 1 und k ∈N gilt lim (n gegen unendlich) x^n/n^k = ∞.

(c) Zeigen Sie: F¨ ur alle 0 < x < 1 und k ∈N gilt lim (n gegen unendlich) n^kx^n = 0.

Dankeschön!!

Answer 1

[MagicalGrill]

Du könntest bei (b) die Quotienten aufeinanderfolgender Folgenglieder betrachten. Genauer: Du könntest versuchen zu zeigen:

$\exists y > 1 \exists N \in \mathbb{N} \forall n > N: \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq y.$

Dann gilt nämlich nach diesem N stets a(n+1) >= y * a(n), und somit induktiv

a(n+m) >= y^m * a(n).

Da y > 1 und stets a(n) > 0 gelten, divergiert die rechte Seite gegen unendlich (für m gegen unendlich).