Ganzrationale Funktion bestimmen?
Wie macht man die a ?
Bedingungen : f(0)=3, f'(0)=0, f''(3)=0
Aber wie löse ich dann das gleichungssystem das da entsteht?
2 Antworten
Da muss man doch fast nichts lösen, die Lösung springt einen doch fast an:
f(x) = a x³ + b x² + c x + d; f'(x) = 3 a x² + 2 b x + c; f''(x) = 6ax + 2b
f(0) = 3 ==> d = 3
f'(0) = 0 ==> c = 0
f''(3) = 0 ==> 6*a*3 + 2b = 0
f(6) = 0 ==> 6³ a + 6² b + 3 = 0
Bleiben zwei Gleichungen mit 2 Variablen:
18 a + 2 b = 0
216 a + 36 b = -3
a = 1/36 b = -1/4
Bei einem linearen Gleichungssystem mit vier Variablen braucht man für eine eindeutige Lösung vier Gleichungen. Das sind nomalerweise vier Bedingungen.
Manchmal sind zwei oder sogar drei Bedingungen in einer Angabe versteckt, z.B.
Sattelpunkt (1|3) bedeutet: f(1)=3; f'(1)=0; f''(1) = 0
Mit weniger Bedingungen wäre dann (mindestens) eine Variable frei wählbar. Dann hast du eine Kurvenschar.
Hi,
die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades lautet:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d.
Die Ableitungen sind allgemein:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b.
Die Bedingungen sind:
a) f(0) = 3 => d = 3 (dort schneidet die Funktion die y-Achse)
b) f'(0) = 0
Also gilt: 3a*0² + 2b*0 + c = 0
Daraus folgt: c = 0
c) f''(3) = 0
Also gilt 6a*3 + 2b = 0
18a = -2b
b = -9a
Wir wissen zudem noch: f(6) = 0.
Das setzen wir mit der Lösung für b, c = 0 und d = 3 ein und lösen nach a auf:
a*6³ + (-9a)*6² + 3
216a -324a + 3 = 0
-108a = -3
a = 1/36
Das setzen wir in die nach b aufgelöste Gleichung ein:
b = -9*1/36 = -9/36 = -1/4
Die Funktionsgleichung ist also
f(x) = 1/36 x³ -1/4 x² + 3.
LG
Kann es sein dass man auch nur 3 Bedingungen hat bei einer funktion des 3. Grades oder sind es immer 4 Bedingungen?