Freier fall stein?
Ein schwerer Stein fällt in eine Grube .Den Aufschlag hört man nach der Zeit t.Leite durch die Analyse des Sachverhaltes und geeignete Substitution eine Gleichung her ,die nur die bekannten Größen enthält und derer Lösung die berechnung der Tiefe h der Grube ermöglicht .Die Schallgeschwindigkeit v wird auch als bekannt vorausgesetzt.
Kann mir bitte jemanden erklären,wie man es macht .
1 Antwort
Nimm an, die Grube habe die Tiefe h, und denk Dir das von hinten her.
Wenn Du den Stein aufschlagen hörst, dann mußte der Schall die Strecke h überwinden. Schall bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v, also also braucht er für die Strecke h eine Zeit h=vt₁ ⇒ t₁=h/v.
Der Stein fiel im freien Fall in die Grube. Nenn seine Fallzeit t₂, dann gilt h=½gt₂² bzw. t₂=√(2h/g).
Die Zeit t, die Du gemessen hast, lag zwischen dem Loslassen des Steins und dem Eintreffen des Schalls an Deinem Oh, also t=t₁+t₂. Es gilt also
So wie die Aufgabe gestellt ist, würde bereits die erste Zeile reichen; ich habe die Gleichung aber noch gleich nach h aufgelöst, wobei ich benutzt habe, daß sie als „quadratische Gleichung mit der Variable √h“ aufgefaßt werden kann. Wenn Dir das zu schnell gegangen ist, kannst Du auch eine neue Variable η=√h einführen, dann ist es eine offensichtliche quadratische Gleichung, und Du kannst dann nach η auflösen und h zurückeinsetzen.
Wir können uns das auch graphisch ansehen:
Hier siehst Du die Grubentiefe in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit (violett); außerdem habe ich noch in Grün die Grubentiefe eingezeichnet, die man bekommt, wenn man die Laufzeit des Schalls ignoriert (also nur mit h=½gt² rechnet). Wenn die Grube weniger als 40 m tief ist, bekommt man mit beiden Ansätzen ± dasselbe Ergebnis, aber bei tieferen Gruben wird die Korrektur dann doch beträchtlich. Allerdings laufen wir für tiefe Gruben in ein anderes Problem: Der Stein fällt dann länger und erreicht höhere Fallgeschwindigkeiten, und dann wird der Luftwiderstand immer wichtiger. Leider haben wir den Luftwiderstand aber in der Rechnung gar nicht berücksichtigt, so daß wir dem Ergebnis ohnehin nicht trauen können, wenn die Grube zu tief ist.
Wie immer: Rechenfehler vorbehalten.
n der ersten Zeile steht t = h/v + √(2h/g)
Wir multiplizieren mit v und dröseln dann ein bißchen an der Wurzel herum, um √h herauszulösen:
vt = h + v√(2h/g) = h + v√(2/g)⋅√h
und dann kommt noch alles auf eine Seite:
h + v√(2/g)⋅√h − vt = 0
Statt v√(2/g) kann man natürlich auch √(2v²/g) schreiben.
Quadratische Gleichung. Die Gleichung hat die Form h + p√h − q = 0 (dabei sind p=√(2v²/g) und q=vt), also Lösungsformel anwenden √h = −½p + √(¼p² + q) und dann noch quadrieren, damit wir zu h kommen.
Ich hoffe, daß ich das unfallfrei hingekriegt habe.
Ich kenne die p-q formel nicht ,sondern die mitternachtsformel .könnes sie es damit erklären
Ich weiß nicht, was Du meinst — das ist irgendeine Terminologie aus Deutschland, die ich nicht kenne.
h + √(2v²/g) √h − vt =0
Jetzt ersetzten wir h durch η² und entsprechend √h durch η:
η² + √(2v²/g) η − vt =0
Das lösen wir nach η auf, wie auch immer Du das machst (kriegst Du bestimmt hin):
η = −√(½v²/g) + √( ½v²/g + vt )
und weil wir η ja so eingeführt haben, daß h=η², können wir das auf h umschreiben:
h = η² = [ √( ½v²/g + vt ) − √(½v²/g) ]²
Hi können sie mir bitte sagen ,wie sie von der ersten zeile auf die Zweite Kamen.Danke