Eigenwert & Eigenvektor mit komplexen Zahlen?
Folgende Matrix sei gegeben:
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Berechnung des charakteristischen Polynoms ergibt:
lamba^2 = -1
lambda = sqrt(-1)
lambda = i und lambda = -i.
Nun komme ich aber nicht mehr weiter. Ich fahre der Einfachheit halber mit lambda = i fort. (Lambda = -i kann ich ja dann analog berechnen.)
[-i, -1]
[1, -i]
Nun müsste ja gelten:
-i * x1 - x2 = 0
x1 - i * x2 = 0
Gemäss Wolfram Alpha ist der zugehörige Eigenvektor [i, 1].
Ich verstehe, dass dieser Eigenvektor die zweite Gleichung löst. Aber inwiefern ist dann die erste Gleichung erfüllt?
Vielen Dank.
4 Antworten
Wenn du (x₁, x₂) = (i, 1) in die erste der beiden Gleichungen einsetzt...
Passt.
Ansonsten kann man auch erkennen, dass die erste Gleichung äquivalent zur zweiten Gleichung ist. Wenn man die erste Gleichung mit i multipliziert, erhält man die zweite Gleichung. [Probier's aus.] Bzw. erhält man umgekehrt die erste Gleichung aus der zweiten Gleichung, indem man mit -i multipliziert.
-i * x1 - x2
mit x1= i und x2= 1 ergibt
(-i) * i - 1
= - i^2 -1
= - (-1) -1
= 1 - 1
= 0
Nun komme ich aber nicht mehr weiter.
Du musst jetzt den Kern von der Differenzmatrix von der gegebenen und der Einheitsmatrix skalar mit i bzw. –i berechnen, also
So wie du auch beim charakteristischen Polynom vorgegangen bist, nur eben statt die Determinante den Kern bestimmst. Ich nenne diese Differenzmatrix nun A⁺ für λ = +i und A⁻ für λ = –i.
___
λ = i:
Ker(A⁺) = span( (1, –i)^T )
λ = –i:
Ker(A⁻) = span( (1, i)^T )
___
Damit hast du zwei Untervekorräume zu zwei Eigenvektoren gefunden.
Die Rechnungen sind einfach bei A⁺
–i x – 1 y = 0
1 x – i y = 0
und bei A⁻
i x – 1 y = 0
1 x + i y = 0
Die Lösungenmenge, also alle Zahlenpaare, die jeweils eine dieser Gleichungen erüfüllen, bilden dann Komponenten von Eigenvektoren.
Beide Gleichungen werden gelöst. Rechne doch einfach nach. Es stimmt alles.
Charismatisches Polynom, cool .... :-)