Beweis Primzahlen?
Bei dem Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, geht man ja von einer größten Primzahl aus, die die Summe aller Primzahlen plus 1 ist. Meine Frage ist nun woher diese 1 kommt und warum man sie hier addiert.
LG
5 Antworten
Summe aller Primzahlen
Nein, man bildet nicht die Summe sondern das Produkt.
Meine Frage ist nun woher diese 1 kommt
Welche natürliche Zahl ist durch keine Primzahl teilbar?
Wenn zwei Zahlen a, b ∈ ℕ durch eine Zahl p ∈ ℕ teilbar sind, ist auch deren Differenz durch p teilbar, denn wenn a = n·p und b = m·p, dann b - a = (m - n)·p für n, m ∈ ℕ. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass wenn a durch p teilbar ist, aber a - b nicht, dass dann b auch nicht durch p teilbar ist, da sonst aus dem vorherigen Satz folgen müsste, dass auch a - b durch p teilbar ist.
Das Produkt von Primzahlen a ist durch jede dieser Primzahlen teilbar. Wenn man nun 1 addiert, ist das Ergebnis durch keine dieser Primzahlen teilbar, denn wenn eine Primzahl sowohl Teiler von a als auch von a + 1 wäre, so wäre die Primzahl auch Teiler von 1, was nicht geht.
Das Produkt kann man durch jede der Primzahlen restlos teilen. Wenn man 1 addiert, bekommt man dann bei Division immer Rest 1, denn diese 1 kann man nicht weiter teilen. Wenn man z.B. zu einer geraden Zahl 2 addieren würde, wäre die neue Zahl auch wieder gerade, also restlos durch 2 teilbar.
Angenommen, es gäbe eine höchste Primzahl und eine endliche Menge von Primzahlen. Dann multiplizieren alle diese Primzahlen zu einer Summe und addieren plus 1 dazu. Die Addition plus 1 führt dazu, dass die neue Zahl nun nicht mehr durch diese Elemente der Menge endlicher Primzahlen teilbar ist. Denn das plus 1 führt dazu, dass sie nicht mehr als Produkt der endlichen Menge an Primzahlen darstellbar ist. Bsp.: 2*3*5 +1 = 31 - das ist logischerweise weder durch 2, noch durch 3 noch durch 5 teilbar. Wäre es z.B. durch 5 teilbar, dann wäre die 1 durch 5 teilbar, da 2*3*5 durch 5 teilbar ist, dito für 2 und 3. Da 1 durch keine Primzahl teilbar ist, zerstört sie so jegliche bisherige Teilbarkeit.
Oder deutlicher: Wenn eine Summe aus zwei Summanden durch z teilbar ist und einer der Summanden durch z teilbar ist, dann ist es auch der andere Summand. Das plus 1 zerstört diese Regel bzw. führt dazu, dass dann die Summe nicht mehr durch die Faktoren teilbar ist, durch die der erste Summand teilbar war (im Beispiel 2*3*5).
Hier die grundlegende Aussage:
Für c nehmen wir 1, denn keine Primzahl teilt dann c und die Summe wird dann auch durch keine Primzahl geteilt, welche b (im Beispiel 2*3*5) teilt.
Das liegt entweder daran, dass die neue Zahl selbst eine (größere) Primzahl ist oder dass einer der Teiler eine größere Primzahl als die höchste Primzahl der Faktoren Menge ist --> Widerspruch, die neue Zahl (Multiplikation der endlichen Menge an Primzahlen plus 1) impliziert eine Primzahl, die größer ist als alle Zahlen der endlichen Menge an Primzahlen. Damit war die angenommene Menge endlicher Primzahlen unvollständig - und egal, welche endliche Menge man annimmt, sie ist auf diese Weise unvollständig. Also ist die Menge unendlich.
Ich kenne den Beweis so:
Wenn man die ersten N Primzahlen miteinander multipliziert, bekommt man logischerweise eine zusammengesetzte Zahl.
Addiert man zu dieser Zahl dann die Eins, bekommt man eine Zahl, die durch keinen der Teiler der ursprünglichen Zahl (= die ersten N Primzahlen) teilbar ist, weil überall 1 Rest bleibt.
Daher muss es sich bei der neuen Zahl um eine Primzahl handeln.
Nachdem man N beliebig wählen kann, muss es unendlich viele Primzahlen geben.
Allerdings stellt sich die Frage, wie die Zahl denn unbekannte Primfaktoren enthalten könnte, wenn sie das um 1 erhöhte Produkt der bekannten Folge der ersten N aufeinanderfolgenden Primzahlen ist.
Nehmen wir z.B. 2 · 3 · 5 + 1 = 31. Ein unbekannter Primfaktor müsste ja größer als 5 sein (denn alle kleineren sind voraussetzungsgemäß bereits in der Zahl enthalten). Damit das klappt, müsste es aber noch einen zweiten, ebenfalls unbekannten Primfaktor geben; das ginge sich aber nicht aus, denn 6² wäre bereits 36 - und somit zu groß.
llerdings stellt sich die Frage, wie die Zahl denn unbekanntePrimfaktoren enthalten könnte, wenn sie das um 1 erhöhte Produkt derbekanntenFolge der ersten N aufeinanderfolgenden Primzahlen ist.
Das ist jetzt bei sehr großen Primzahlenprodukten nicht unbedingt ausgeschlossen, dass dieses +1 zu einer Zahl führt, welche das Produkt z.B. zweier sehr großer Primzahlen ist. Ich vermute, passende Beispiele würden wahrscheinlich sehr große Zahlen benötigten. Wenn wir z.B. 10.000 Primzahlen nehmen, diese multiplizieren und dann 1 dazu addieren, könnte ich nicht ausschließen, dass darin neue Primzahlenfaktoren sind.
Ja. Der Beweis funktioniert nur unter der Annahme, daß alle Primzahlen bis zu der angenommenen höchsten ausnahmslos bekannt sind. Erst dann führt deren Produkt, vergrößert um 1, zuverlässig zu einer neuen Primzahl, die in der bisherigen Menge nicht erhalten war und die höher ist als die behauptete höchste Primzahl.
die die Summe aller Primzahlen plus 1 ist
Es ist nicht die Summe plus 1, sondern das Produkt +1 aller Primzahlen. Und das "plus 1" ist die Konstruktion einer Zahl die, wie der Beweis dann zeigt, selbst eine Primzahl oder das Produkt unbekannter Primzahlen sein muss.
Oder anders: Die "1" kommt nirgendwoher, der Beweisführer hat lediglich eine Zahl gewählt, mit der er den Beweis führen kann.
Es handelt sich um einen indirekten Beweis. Wenn man die Annahme trifft, es gebe nur endlich viele Primzahlen, reicht ein einziges Gegenbeispiel, egal wie man es konstruiert, um die Annahme zu widerlegen.
Nein, es gibt eine weitere Möglichkeit, siehe die Antwort von @evtldocha