die die Summe aller Primzahlen plus 1 ist

Es ist nicht die Summe plus 1, sondern das Produkt +1 aller Primzahlen. Und das "plus 1" ist die Konstruktion einer Zahl die, wie der Beweis dann zeigt, selbst eine Primzahl oder das Produkt unbekannter Primzahlen sein muss.

Oder anders: Die "1" kommt nirgendwoher, der Beweisführer hat lediglich eine Zahl gewählt, mit der er den Beweis führen kann.