Bauernhof Aufgabe Lineare Gleichungssysteme?
ich hänge an folgender Aufgabe und verstehe zwar warum es unendlich viele Lösungen gibt und komme auch auf die Stufenform. Aber die darauffolgenden Begründung ist mir nicht klar..
Über eine ausführlichere Erläuterung wäre ich sehr dankbar!
vielen danke
lg
2 Antworten
Um das Gleichungssystem aufstellen zu können, braucht man Zusatzinformationen:
- eine Ziege hat 4 Beine und 0 Flügel
- ein Huhn hat 2 Beine und 2 Flügel
- eine Gans hat 2 Beine und 2 Flügel
An diesen Informationen kann man schon ablesen, dass man allein mit Anzahlen von Tieren (egal. welcher Art), Beinen und Flügeln auf keine Weise zwischen Hühnern und Gänsen unterscheiden kann.
Das spiegelt sich auch im LGS wieder: die Matrix ist "singulär" - sie hat die Determinante 0. Falls ihr davon noch nichts gehört hast: Man kann das Gleichungssystem mit Äquivalenzumformungen so umformen, dass eine Gleichung
0 = 0
oder
0 = 1
lautet. Bei "0 = 0" hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen (und ist insbesondere lösbar), bei "0 = 1" hat das Gleichungssystem keine Lösung (ist also unlösbar).
Was man aus dem Gleichungssystem bestimmen kann, ist die Anzahl von Stücken Geflügel (Hühner oder Gänse). Das sind hier 35 Stück.
Es gibt weder Bruchteile von Tieren noch negative Anzahlen von Tieren. Also ist die Anzahl der Hühner eine (nichtnegative) natürliche Zahl, ebenso die Zahl der Ziegen.
Damit liegt die Anzahl der Hühner zwischen 0 und 35 (jeweils einschließlich) (sonst hätte man ja eine negative Anzahl von Hühnern und eine negative Anzahl von Gänsen).
Wie viele Möglichkeiten es hier gibt, kann man abzählen:
|{0, 1, 2, ..., 34, 35}| = 36
( |M| - "Mächtigkeit der Menge", wird wie "Betrag einer Zahl" notiert - ist die Anzahl der Elemente einer Menge )
Nachtrag: Es kann sein, dass du sowohl eine Gleichung
0 = 0
als auch eine Gleichung
0 = 1
erhältst. In diesem Fall ist das Gleichungssystem natürlich ebenfalls unlösbar (egal, ob die übrigen Gleichungen lösbar sind - "0 = 1" ist es nie, und es sollen ja alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein.) Ebenso, wenn mehr als eine Gleichung "0 = 1" da steht.
2x + 2y = 70 .........(1)
x + y + z = 75 .......(2)
-4x - 4y - 4z = -300........(2a)
2x + 2y + 4z = 230........(3)
-2x - 2y + 0 = -70........(4 aus 2a+3)
.
(1) und (4) sind identisch , daher kann man x ( oder y ) frei wählen, kommt so zu y , und dann zu z
unendlich viele
.
x+y = 35
weil nur ganse Tiere erlaubt sind , sind 35+1 Lösungen möglich
( 0 , 35 ,,,,,,,,,, 1, 34 usw bis 35 , 0 )
Es gibt also 36 Lösungen?