Aufgabr Funktionenscharen?
Wie löst man diese Aufgabe
1 Antwort
a)
Funktion 3. Grades:
f(x) = a x³ + b x² + c x + d
f'(x) = 3 a x² + 2 b x + c
Gehen durch den Ursprung:
f(0) = 0
d = 0
Extrempunkt bei (2 | 4):
f'(2) = 0
12 a + 4 b + c = 0
f(2) = 4
8 a + 4 b + 2 c + d = 4
Zusammengefasst:
f(x) = a x³ + b x² + c x
12 a + 4 b + c = 0
8 a + 4 b + 2 c = 4
also b = –(1 + 4 a) und c = 4 (1 + a)
Ergebnis:
f(x) = a x³ – (1 + 4 a) x² + 4 (1 + a) x
b)
f'(x) = 3 a x² – 2 (1 + 4 a) x + 4 (1 + a)
f"(x) = 6 a x – 2 (1 + 4 a)
f"(x) = (6 x – 8) a – 2
Hochpunkt:
f"(2) = 4 a – 2 < 0
a < 1/2
Tiefpunkt:
f"(2) = 4 a + 2 > 0
a > 1/2
Wenn a = 1/2, dann ist (2 | 4) ein Sattelpunkt, denn f"(2) = 0 und f"'(2) = 6 a = 3 > 0. Die Ableitungsfunktion hat also bei x = 2 ein Tiefpunkt, demnach bleibt das Vorzeichen von f' links und rechts der kritischen Stelle positiv => Sattelpunkt.
Ergebnis:
Wenn a = 1/2, gibt ist (2 | 4) kein Extrema.
Wenn a > 1/2, dann ist (2 | 4) ein Tiefpunkt.
Wenn a < 1/2, dann ist (2 | 4) ein Hochpunkt.
Warum ist c=0? Die gleichung lautet ja 12a + 4b +2c =0