Anzahl von Atomen?
Guten abend, ich berechne seit mehreren stunden folgende Aufgabe und hoffe auf ein wenig Hilfe :).
Ich hätte niemals gedacht, dass so eine simple aufgabe momentan nicht zu lösen ist:
Ich zitiere die aufgabe: Ein kugelförmiges Goldteilchen mit einem Durchmesseer von 3nm enthält in etwa wie viele Atome? Nehmen sie dabei an, dass die Goldatome in einer dichtesten Kugelpackung vorliegen und der Raum dabei etwa zu 74% ausgefüllt ist. Der Abstand der Goldatome beträgt 0,288 nm.Ich habe schon echt alles ausprobiert zb3÷0.288×,÷0.74 und weiteres.
Die Ergebnissmöglichkeiten sind 840, 2540, 1980 oder 1130. Ich bin bisher nicht auf das richtige Ergebnis gekommen.
Danke im voraus.
2 Antworten
Gold bildet eine kubisch dichteste Kugelpackung. Eine würfelförmige Elementarzelle enthält 4 Atome und hat eine Kantenlänge von 0,4078 nm.
Die Angabe des Atomabstands, der einer halben Flächendiagonale entspricht, ist eher unüblich, aber mit 0,288 nm * √2 = 0,407 lässt sich das leicht umrechnen.
Die Raumerfüllung ist dabei eine nur verwirrende überflüssige Information.
Es gilt Volumen * (Teilchen/Volumen) = Anzahl Teilchen.
Also (4/3 * п * (15nm)³) / (4 / (0,4078nm)³ =
Allerdings kannst du auch einfacher rechnen. Das Verhältnis von Kugeldurchmesser zu Atomdurchmesser ist 3nm/0,288nm Das hoch drei ist das Verhältnis der Volumina, Mit Erfüllungsgrad von 0,74 ergibt sich
((3nm)³/(0,288nm)³)*0,74=(3/0,288)³*0,74=836.
Dein Ansatz war schon richtig, aber du hast hoch drei vergessen.
Das ist der Atomabstand. Das Gitter wird so symmetrisch wie möglich gewählt, in diesem Fall als Würfel. Atome sind in den Ecken und den Flächenmitten dieses Würfels, deshalb nennt man es kubisch-flächenzentriertes Gitter. Der Abstand ergibt sich als Strecke zwischen Ecke und Flächenmitte, also als Hälfte der Flächendiagonale. Und die ist, Pythagoras lässt grüßen, ½*√2 oder 1/√2 der Kantenlänge.
Au weiah, das ist der Radius, wenn der Durchmesser 30nm ist, wie in der Aufgabe. Formeln basieren nun mal meist auf dem Radius.
Das Volumen dieses Teilchen ist:
V = 1,4137*10⁻²⁶ m³
Gold hat die Dichte von ρ = 19,32 g/cm³. Damit errechnet sich die Masse zu:
m = ρ * V = 2,731* 10⁻²² kg
Die atomare Masse von Gold ist M = 196,97 u. Das heißt also, dass 6,022 * 10²³ Atome die Masse von 0,19697 kg haben. Ein Goldatom bringt somit die Masse:
m(Au) = 0,19697 kg/(6,022 * 10²³) = 3,27 * 10⁻²⁵ kg
N = 2,731* 10⁻²² kg/(3,27 * 10⁻²⁵ kg) = 835
Somit sollte die richtige Antwortoption "840" sein.
Ein dritter Ansatz. Wenn die verschiedenen Ansätze dann noch zum selben Ergebnis kommen, um so besser.
Danke, aber ich sollte ohne atomspezifische Angaben rechnen 😊
Ist die kantenlänge aber in der aufgave nicht dchon 0,288nm 🤔