Physik 1. Semester: Welcher Abstand liegt zwischen den Mittelpunkten von benachbarten Atomen?
Hi ich bräuchte kurz eure Hilfe bei folgender Aufgabe:
"Ein Kubikzentimeter Eisen besitzt eine Masse von 7.87 g. Die Masse eines Eisenatoms ist 9.27 × 10-26 kg. Nehmen Sie an, die Atome seien kugelförmig und dicht gepackt. Welcher Abstand liegt zwischen den Mittelpunkten von benachbarten Atomen?"
Mein Prof. hat mir lediglich das Ergebnis von "2,823E-10 m" mitgeteilt. Leider hat er mir nicht erklärt, wie er auf das Ergebnis gekommen ist... könnt Ihr mir vielleicht weiterhelfen ?
Falls Ihr gerne knobelt, ich veröffentliche gleich noch weitere Fragen zu ein Paar Physik Aufgaben, die ich nicht ganz verstanden habe - Ihr seid herzlich eingeladen auch bei diesen euch einzubringen ^^'
lg und vielen Dank im voraus :) !
4 Antworten
1) Anzahl der Atome ausrechnen
2) die 3. Wurzel daraus ergibt die Länge einer Kante des Würfels in Anzahl Atome.
3) Diese Atome verteilen sich auf 1 cm.
4) Abstand pro Atom ausrechnen
Wir haben im Prinzip nur drei Angaben: Daß die Dichte von Fe ρ=7.87 g/cm³ beträgt, daß ein Fe-Atom 9.27⋅10⁻²⁶ kg wiegt und daß festes Eisen eine dichteste Kugelpackung hat. Es gibt zwei verschiedene Strukturen mit dichtester Packung; ich nehme die bcc-Struktur (raumzentriert), erstens weil sie der realen Struktur von α-Eisen entspricht und zweitens weil sie einfacher zu rechnen ist.
Eine bcc-Elementarzelle besteht aus einem Würfel mit acht Atomen in den Ecken und einem im Zentrum. Da jeder Eckpunkt zwischen 8 Zellen geteilt wird, dürfen wie die Atome dort nur zu ⅛ zählen; insgesamt enthält die Zelle also genau zwei Atome und wiegt daher m=1.85⋅10⁻²⁵ kg.
Die Elementarzelle baut den Festkörper lückenlos auf und muß daher dieselbe Dichte haben. Wenn wir die Länge der Würfelkante (die Zellkonstante) a nennen, dann hat die Zelle ein Volumen V=a³, und da wir die Masse m kennen, können wir das a aus der Dichte ρ=m/V rückrechnen: a = ³√(m/ρ) = 2.86⋅10⁻¹⁰ m
Die Zellkonstante ist die Länge der Würfelkante in der Elementarzelle. Es gibt also im Fe-Kristall Atome, die genau 2.86⋅10⁻¹⁰ m voneinander entfernt sind. Es gibt aber auch welche, die noch enger benachbart sind, nämlich ein Paar aus einem Atom an einem Eckpunkt und dem im Mittelpunkt der Elementarzelle. Zwischen denen liegt eine halbe Raumdiagonale des Würfels, also ½⋅√3⋅a = 2.48⋅10⁻¹⁰ m
Es sieht so aus, als ob Dein Lehrer den letzten kleinen Schritt nicht bedacht hätte und Dir deshalb eine falsche Antwort gegeben hat. Oder ich habe mich vergaloppiert.
Okay, jetzt war ich doch neugierig:
Annahme: Das Verhältnis von Masse und Volumen des Körpers entspricht dem Verhältnis von Masse und Volumen der Atome:
1cm^3 = 10^-6 m^3
7,87g = 7,87*10^-3kg
Dreisatz:
Vk/mk = Va/ma
(10^-6m^3)/(7,87*10^-3kg) = Va/(9,27*10^-26kg)
--> Va = (10^-6m^3)/(7,87*10^-3kg)*(9,27*10^-26kg)
Va = 1,17789*10^-29m^3
Va = 4/3 * pi * r^3 --> r = (3/4 * Va/pi)^(1/3) = 1,411471957*10^-10 m
Der Abstand(s) der Mittelpunkte ist 2*r = 2*1,411471957*10^-10 m
s = 2,822943*10^-10 m ist etwa 282pm
Der Radius eines Eisenatoms beträgt 140pm. Die Mittelpunkte sind 2r von einander entfernt = 2*140pm = 280pm * 2,8*10^-10m.
Das kann man bestimmt auch geometrisch lösen, aber ich bin Chemisch technischer Assistent, ich bin faul.