Ableitung?
Kann jemand diese Ableitung plus Rechenweg reinseiden ich weis nicht wie ich diese ableiten soll .-. Bzw mir fehlt irgendwie der Rechenweg
3 Antworten
Du willst ein Produkt zweier Funktionen ableiten: x² und e^(-x). Dafür gibt es die Produktregel. Sie sagt dir sofort, wie die Ableitung des Produktes aussieht, wenn du die beiden einzelnen Funktionen ableiten kannst.
Und kannst du das? Bei x² wird das wohl kein Problem sein.
Bei e^(-x) brauchst du die Kettenregel, denn bei dieser Funktionen wird erst die Abbildung
f: x → -x
angewandt und dann auf das Ergebnis die Exponentialfunktion
g: t → e^t
(zusammengesetzt: x → e^(-x).) Da werden also zwei Funktionen nicht multipliert, sondern nacheinander ausgeführt - etwas ganz anderes. Aber dafür ist ja eben die Kettenregel da. Sie sagt dir, wie die Ableitung der Nacheinanderausführung aussieht, wenn du die beiden einzelnen Funktionen ableiten kannst. Nun ist aber die Ableitung der ersten Funktion ganz einfach, nämlich die konstante Funktion -1. Und die Ableitung der zweiten Funktion zwar nicht ganz einfach, aber ein bekannter Klassiker, den ihr 100% behandelt habt (wette ich), also jedenfalls kennt: es ist die Funktion selbst. Also: f'(x)= -1, g'(t)=e^t.
Was sagt die Kettenregel? (g(f(x)))' = g'(f(x))·f'(x), hier also:
(e^(-x))' = e^(-x)·(-1) = - e^(-x).
Gehst du jetzt zurück zu dem ursprünglich gegebenen Produkt der Funktionen x² und e^(-x), so kennst du ja inzwischen deren beider Ableitungen, so dass du nun dank der Produktregel auch deren Produkt ableiten kannst.
Ableitung mit der Produktregel:
Und nun setze:
Hier musst du die Multiplikationsregel anwenden
f'=(u*v)'=u'v + v'u
mit u = x² und v=e^(-x)
für e^(-x) wendest du die Kettenregel an
f' =f(g(x))= g'(x) * f'(x)
mit g(x)=-x und f(x)=e^(x)