Wie löse ich solche Aufgaben?

Ich muss mir das Thema selber beibringen. Kennt ihr hier disbezüglich Regeln oder Tricks, wie man das elegant löst? Oder Lernvideos?

Answer 1

[MichaelH77]

3) ist relativ einfach
der Ausdruck unter der Wurzel muss größer oder gleich null sein
16-x²>=0
x²<=16
-4<=x<=4

bei 1) kommen nur Werte zwischen 0 und 1 in Frage, da keiner der Ausdrücke unter den Wurzel negativ sein darf

$\sqrt{x-\sqrt{1-x}}=1-\sqrt{x}$

auf beiden Seiten quadrieren

$x-\sqrt{1-x}=1-2\sqrt{x}+x$ $-\sqrt{1-x}=1-2\sqrt{x}$

mit (-1) multiplzieren

$\sqrt{1-x}=2\sqrt{x}-1$ nochmals quadrieren

$1-x=4x-4\sqrt{x}+1$

zusammenfassen

$4\sqrt{x}=5x$

nochmals quadrieren

$16x=25x^2$

alles auf eine Seite, dann ausklammern (nicht durch x dividieren, da sonst die Lösung x=0 wegfallen würde)

0=x(25x-16)

Satz vom Nullprodukt

x=0 oder x=16/25

bei Wurzelgleichung unbedingt Probe machen

0 ist keine Lösung, da Ausdruck unter der großen Wurzel negativ

bei x=16/25 passt es

Comments

[M4thematikus]

Ja, das bei 1) ist mir klar, aber wie löse ich das Durcheinander von Wurzeln auf?

[MichaelH77]

@M4thematikus

schrittweise quadrieren

vielleicht zunächst Wurzel x auf die rechte Seite der Gleichung bringen. Beim quadrieren muss dann die binomische Formel angewendet werden. Das kann etwas aufwändig werden

[MichaelH77]

@M4thematikus

ich habe oben die 1) gerechnet

[M4thematikus]

@MichaelH77

Danke, du hast meinen Sonntag gerettet

Answer 2

[evtldocha]

Bei der 2) hilft das Potenzgesetz:

$a^{-b}=\frac{1}{a^b}$

Du fängst mit dem Term in der innersten Wurzel an:

$\left(\frac{4}{a^2}\right)^{-2}\ +a\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^3=\left(\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^4}{8}=\frac{a^4}{16}+\frac{2a^4}{16}=\frac{3a^4}{16}$

Die Wurzel davon mit dem Faktor vor der Wurzel:

$\left(\frac{16}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{3}\frac{a^2}{4}=\left(\frac{3}{16}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{a^2}{4}=\frac{\sqrt{3}^2}{4\cdot4}\cdot a^2=\frac{3}{16}a^2$

Nun noch den letzten Term unter der großen Wurzel und daraus dann die Wurzel:

$\sqrt{\frac{a^2}{16}+\frac{3}{16}a^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{16}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{2}a$

Das Ganze noch mit 2/a multipliziert:

$\frac{2}{a}\cdot\frac{a}{2}=1$

(Eine 1 hätte man auch einfacher schreiben können).