Wie Flächeninhalt von Exponentialfunktion berechnen?
Hallo zusammen, ich muss in Mathe folgende Aufgabe lösen aber habe leider keine Ansatz, wie ich rechnen kann:
f(x)= (4x-2)e^(2x)
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche die vom Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen im dritten Quadranten eingeschlossen wird. Rechnen Sie exakt.
Ich würde mich sehr freuen wenn jemand einen Rechenansatz geben könnte.
Vielen Dank für eure Mühe ;-)
PS: Wie man integriert weiß ich, ich muss nur wissen wie man bis ins Unendliche rechnet...
6 Antworten
Hallo,
für x gegen minus unendlich geht f(x) gegen Null und nähert sich von unten der x-Achse an.
Da auch die Stammfunktion für x gegen minus unendlich gegen Null geht, ergibt das Integral für die untere Grenze Null.
Als obere Grenze setzt Du x=0 ein und erhältst als Ergebnis -2.
-2-0=-2.
Da hier der Absolutbetrag der Fläche interessiert, kommst Du auf 2 FE.
Der Flächeninhalt ist hier ein Grenzwert.
Ähnliches wird Dir in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei der Normalverteilung begegnen. Auch die Gaußsche Glockenkurve nähert sich der x-Achse nur an, ohne sie zu erreichen.
Dennoch kann man die Fläche unter der Glocke insgesamt auf einen festen Wert, nämlich auf 1, normieren.
Genauso ist es auch bei der unendlichen Summe 1+1/2+1/4+...+1/2^n
Obwohl Du hier unendlich viele Summanden hast und das Addieren endlos weitergeht, wirst Du niemals die Summe von 2 überschreiten.
Herzliche Grüße,
Willy
"Da auch die Stammfunktion für x gegen minus unendlich gegen Null geht, ergibt das Integral für die untere Grenze Null."
"Die Stammfunktion" gibt es natürlich auch in diesem Fall nicht. Es gibt unendlich viele in Frage kommende Stammfunktionen.Trotzdem ist uns allen klar, was du vermutlich gemeint hast ...
Integration durch "Partielle Integration" Integral (u*dv=u*v-Integral(v*du)
F(x)=e^(2*x)*((2*x-1)-1)+C
Nullstelle bei x=0 ist die obere Integrationsgrenze xo=0
untere Integrationsgrenze ist xu= unendlich klein z. bso. x=-100
A=obere Grenze minus untere Grenze
A=(e^(2*0)*(2*0-1-1)) -(e^(2*x)*(2*x-1-1))
A=1*(0-1-1)=-2
nun den Grenzwert bestimmen e^(2*x)*(2*x-1-1)=e^(2*x)*(2*x-2)
lim e^(2*x)=0 wenn x unendlich klein wird also 0*(2*x-2)=0
Also ist A=-2-0=-2 FE (Flächeneinheiten)
Das Minuszeichen, weil die Fläche A unter der x-Achse liegt.
Beispielrechnung: xo=0 und xu=-4 ergibt A=-1,99.. FE mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)
Du rechnest zuerst die Nullstellen aus, die im dritten Quadranten liegen bzw. zeichnest den Graph (ich empfehle dafür die App Math 42).
Dann integrierst du die Funktion einfach von dem Schnittpunkt bis zu x=0 (bis zur y-Achse).
Da die Funktion in diesem Intervall überall unter der x-Achse liegt bzw du nur den dritten Quadranten beobachtest, entspricht das Integral dem Flächeninhalt.
MfG
Vielen Dank für die schnelle Antwort! :) Leider hat diese Funktion keine Nullstelle für x<0... Wie soll ich weiter vorgehen?
Nullstellenprodukt! 4x-2=0 also x=1/2 aber auch wenn x neg. dann -4x =2 und x = -1/2!
Integral ist erst mal klar? die obere Grenze ist x=0 und die untere die Nullstelle auf der -x-Achse, die du vorher bestimmen musst!
f(x)=(4*x-2)*e^(2*x) Nullstelle bei 0=4*x-2 x=2/4=1/2
e^(2*x) kann nicht zu Null werden
mit x<0 also x unendlich klein mit Grenzwertbestimmung ist e^(2*x)=0
F(x)=e^(2*x)*((2*x-1)-1) +C
A=(e^(2*0)*(2*0-1-1)=1*(-2)
A=(-2) - (e^(2*x)*(2*x-1-1)
mit x<0 unendlich klein iergibt sich A=(-2)-(0*(2*x-2)=-2 -0=-2 FE
Also So wie ich das sehe hat diese Funktion im dritten Quadranten keinen endlichen Flächeningalt, weswegen man ihn auch nicht bestimmen kann. Die Funktion startet ja bei der y-achse und geht dann gegen -unendlich.
Tut mir Leid habe mich vertan es gibt doch eine Grenze die bei -2 liegt.
Vielen Dank habe es jetzt verstanden... :)