Wie berechne ich die Werte n und p?

Ich verstehe nicht, wie man bei b) auf die Werte n und p kommen soll.

Answer 1

[mihisu]

Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable X (binomialverteilt mit den Parametern n und p) ist der Erwartungswert...

$\text{E}[X]=n\cdot p$

Die Varianz ist...

$\text{Var}[X]=n\cdot p\cdot\overbrace{\left(1-p\right)}^{q}$

Die Standardabweichung ist dann...

$\text{SD}[X]=\sqrt{\text{Var}[X]}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}$

============

Im konkreten Fall ist der Erwartungswert 6 und die Standardabweichung 2.

$\text{E}[X]=6\quad\text{ und }\quad\text{SD}[X]=2$

$\Leftrightarrow\quad n\cdot p=6\quad\text{ und }\quad\sqrt{n\cdot p\cdot \left(1-p\right)}=2$

[Das ist nun im Grunde ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den beiden Unbekannten n und p, was man lösen kann.]

$\Leftrightarrow\quad n\cdot p=6\quad\text{ und }\quad \underbrace{n\cdot p}_{=6}\cdot \left(1-p\right)=2^2$

$\Leftrightarrow\quad n\cdot p=6\quad\text{ und }\quad 6\cdot \left(1-p\right)=2^2$

$\Leftrightarrow\quad n\cdot p=6\quad\text{ und }\quad 1-p=\frac{2^2}{6}$

$\Leftrightarrow\quad n\cdot p=6\quad\text{ und }\quad p=\underbrace{1-\frac{2^2}{6}}_{=\frac{1}{3}}$ $\Leftrightarrow\quad n\cdot \underbrace{p}_{=\frac{1}{3}}=6\quad\text{ und }\quad p=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow\quad n\cdot \frac{1}{3}=6\quad\text{ und }\quad p=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow\quad n=\underbrace{6\cdot 3}_{=18}\quad\text{ und }\quad p=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow\quad n=18\quad\text{ und }\quad p=\frac{1}{3}$

Comments

[KiwisKatze]

Was sagt die Varianz nochmal aus?

[mihisu]

@KiwisKatze

Das ist eine Art Streumaß, wie weit verteilt die Werte auseinanderliegen können.

[mihisu]

@mihisu

Genauer...

Man kann die quadratische Abweichung von X zum Erwartungswert E[X] betrachten. D.h. man kann (X - E[X])² betrachten.

Die Varianz ist nun als Erwartungswert dieser quadratischen Abweichung definiert...

Var[X] = E[(X - E[X])²]

Je größer also die Varianz ist, desto größer ist die erwartete quadratische Abweichung zum Mittelwert/Erwartungswert.