Widerspruch bei der Formel "E = mc^2"?
Angenommen wir haben zwei Objekte mit folgenden Eigenschaften:
Die Masse ist also unterschiedlich, die Energie jedoch gleich. Wenn wir nun die Formel der Relativitätstheorie nehmen
und unsere Werte einsetzen, dann kommt folgendes raus:
Und jetzt können wir das ein wenig umstellen.
Führt ja offensichtlich zu einem Widerspruch, obwohl ich hier nur simple Äquivalenzumformung verwendet habe. Hab ich irgendwas nicht beachtet?
6 Antworten
Hallo ItachiUchihaLx,
die wohl bekannsteste – und offensichtlich am häufigsten nicht verstandene bzw. missverstandene – Gleichung der Physik,
(0) E = mc²,
bedeutet, dass
- jede Art von Energie "was wiegt" und dass
- die Masse m₀ eines Körpers oder Teilchens gleichsam kondensierte Energie ist. Diese Energie wird die Ruheenergie E₀ = m₀c² des Körpers genannt.
Angenommen wir haben zwei Objekte mit folgenden Eigenschaften: [m₁ = 1 kg, E₁ = 1 J, m₂ = 2 kg, E₂ = 1 J]
Die Masse ist also unterschiedlich, die Energie jedoch gleich.
Dies ist dann Energie, die jeder Körper zusätzlich besitzt, zum Beispiel als kinetische Energie, weil sich die Körper mit unterschiedlichem Tempo v₁ und v₂ = v₁⁄√2 bewegen. Es kann natürlich auch sein, dass umgekehrt beide Körper eine gewisse chemische Energie enthalten, die dann tatsächlich zur Masse von 1 kg beiträgt, allerdings extrem wenig.
Wenn wir nun die Formel der Relativitätstheorie nehmen … und unsere Werte einsetzen, dann kommt …
… Unsinn heraus, da Du hier Dinge gleichsetzt, die absolut nicht gleich sind, nämlich die z.B. kinetische Energie, die jeder der beiden Körper hat, und die jeweilige Ruheenergie.
E₁ = 1 J = m₁∙c² = 1 kg∙c²
Das zweite Gleichheitszeichen ist Mumpitz, denn Dein E₁ ist z.B. die kinetische Energie des ersten Körpers, Eₖ,₁, oder eben die verfügbare, im Körper gespeicherte Energie; m₁∙c² ist natürlich nicht 1 J, sondern ca.
(1) m₁c² ≈ 1 kg∙(3×10⁸ m⁄s)² ≈ 9×10¹⁶ J,
was 25 TWh oder etwas über 21 MT TNT- Äquivalent entspricht (das ist das Tausendfache der Energie, die beim Trinity- Test und beim Angriff auf Nagasaki freigesetzt wurde).
An den überwiegenden Teil dieser Energie kommt man nicht heran, ähnlich wie an Geld, das in einer Immobilie steckt, die man hat, aber nicht verkauft kriegt. Die gesamte Energie freizusetzen gelingt nur mittels der Paarvernichtung, und dazu braucht man Antimaterie.
Jedes Nukleon (Kernteilchen, Sammelbegriff für Protonen und Neutronen) in einem Körper besteht nur zu einem kleinen Teil aus der Masse der Quarks, aus denen es sich zusammensetzt; das meiste ist Bindungsenergie.
Ich hoffe, dass Dir meine Antwort in besonderem Maße weitergeholfen hat. Wenn was unklar geblieben ist, bitte ich um Rückfragen und ändere meine Antwort entsprechend.
Schon deine Voraussetzung stellt einen Widerspruch dar.
Ergänzung: Es gibt unterschiedliche Energieformen, für die es unterschiedliche Formeln zur Berechnung gibt.
Und noch ganz prinzipiell: Energie ist eine relativistische Größe, d.h. ihr Betrag hängt vom Bezugssystem ab.
Aber wieso denn? Die Energie wird ja nicht nur von der Masse bestimmt. Ein Stein hat ja wohl nicht die selbe Menge an Energie wie eine Batterie mit der selben Masse.
Doch! Ein Stein und eine Batterie haben beide die gleiche Ruheenergie, wenn sie die gleiche Masse haben. Und die Ruheenergie von 1 kg bzw. 2 kg ist erheblich größer als 1 Joule!
Doch. Der Unterschied ist der, dass in der (geladenen) Batterie verfügbare chemische Energie steckt, die man in Form elektrischer Energie freisetzen kann. Die nicht verfügbare Ruheenergie der entladenen Batterie bleibt übrig.
Tatsächlich hat die entladene Batterie etwas weniger Masse, als sie im geladenen Zustand hatte, aber der Unterschied ist minimal: Bei einer Autobatterie, aus der sich 1 kWh = 3,6×10⁶ J ziehen lassen, macht das etwa 4×10¹¹ kg = 40 ng aus.
Hab ich irgendwas nicht beachtet?
Du konstruierst den Widerspruch, in dem Du völlig an den Haaren herbeigezogen schon ganz am Anfang formulierst, dass die Energien gleich sein müssten.
Und dann gilt wie immer: Ex falso sequitur quodlibet.
(Die Gleichung besagt, dass Energie und Masse äquivalent sind und nicht, dass beide irgendwie unabhängig frei wählbar seien).
Natürlich kommt man auf einen Widerspruch. Du hast aus einem Widerspruch einen Widerspruch gefolgert. Glückwunsch.
Es gibt keine Objekte mit einer Masse von 1 kg und einer Ruheenergie von 1 Joule.
Es gibt keine Objekte mit einer Masse von 2 kg und einer Ruheenergie von 2 Joule.
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Zum Vergleich ein ähnliches Beispiel, das von der Logik her gleich ist...
Betrachte ein Quadrat mit Seitenlänge a₁ = 1 cm und Flächeninhalt A₁ = 5 cm².
Und betrachte ein Quadrat mit Seitenlänge a₂ = 2 cm und Flächeninhalt A₂ = 5 cm².
Wenn wir nun die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats nehmen...
... und unsere Werte einsetzen, erhält man...
Und jetzt können wir ein wenig umformen...
Die Masse ist also unterschiedlich, die Energie jedoch gleich.
Das ist unmöglich, es sei denn vielleicht, Du erklärst das genauer.
Zum Beispiel wenn wir zwei Batterien haben, wovon eine doppelt so schwer ist wie die andere, dann können sie ja trotzdem die selbe Menge an Energie in sich tragen. Die Energie innerhalb der Batterie ist ja variierbar.
Das ist doch nicht die Energie, die mit e = mc² gemeint ist! Das ist nur ein winziger Bruchteil der Gesamtenergie, nämlich die chemische bzw. elektrische Energie.
Nein. Es geht hier (bei der Formel E = m c²) um die Ruheenergie, nicht nur um die chemische Energie bzw. elektrische Energie, die in einer Batterie gespeichert ist.
====== Beispiel 1a ======
Betrachte eine Batterie mit einer Masse von exakt 1 kg, in der chemisch eine Energie von 1 Joule gespeichert ist, welche als eine elektrische Energie abgegeben werden kann. Die Ruheenergie ist dann nicht 1 Joule. Die Ruheenergie ist dann stattdessen...
m ⋅ c² = 1 kg ⋅ (299792458 m/s)² = 89875517873681764 J
Nur 1 Joule von diesen 89875517873681764 J ist die Energie, an die du gedacht hast. [Ungeladen hätte diese Batterie eine Ruheenergie von 89875517873681763 J und dementsprechend ein minimal geringere Masse.]
====== Beispiel 1b ======
Betrachte eine Batterie mit einer Masse von exakt 1 kg, in der chemisch eine Energie von 2 Joule gespeichert ist, welche als eine elektrische Energie abgegeben werden kann. Die Ruheenergie ist dann nicht 2 Joule. Die Ruheenergie ist dann stattdessen...
m ⋅ c² = 1 kg ⋅ (299792458 m/s)² = 89875517873681764 J
Nur 2 Joule von diesen 89875517873681764 J ist die Energie, an die du gedacht hast. [Ungeladen hätte diese Batterie eine Ruheenergie von 89875517873681762 J und dementsprechend ein minimal geringere Masse.]
====== Beispiel 2 ======
Betrachte eine Batterie mit einer Masse von 2 kg, in der chemisch eine Energie von 1 Joule gespeichert ist, welche als eine elektrische Energie abgegeben werden kann. Die Ruheenergie ist dann nicht 1 Joule. Die Ruheenergie ist dann stattdessen...
m ⋅ c² = 2 kg ⋅ (299792458 m/s)² = 179751035747363528 J
Nur 2 Joule von diesen 179751035747363528 J ist die Energie, an die du gedacht hast.
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Danke!